Hyperkomplexe Zahl

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Übersicht über einige gängige Mengen hyperkomplexer Zahlen mit ihrer jeweiligen Dimension und ihren Teilmengenrelationen.

Hyperkomplexe Zahlen sind Verallgemeinerungen der komplexen Zahlen. In diesem Artikel werden hyperkomplexe Zahlen als algebraische Struktur betrachtet. Manchmal werden auch die Quaternionen als die hyperkomplexen Zahlen bezeichnet.

Definition[Bearbeiten]

Eine hyperkomplexe Zahl ist ein Element einer Algebra hyperkomplexer Zahlen. Eine Algebra A über den reellen Zahlen heißt Algebra hyperkomplexer Zahlen oder hyperkomplexes System des Rangs n, wenn

  • sie als Vektorraum endliche Dimension n hat und wenn
  • sie ein Einselement besitzt, das heißt, falls ein e \in A existiert, so dass für alle a \in A die Gleichung e\cdot a = a \cdot e = a gilt.

Manche Autoren fordern zusätzlich, dass die Algebra A bezüglich der Multiplikation assoziativ ist. Insbesondere sind die reellen Zahlen selbst eine Algebra hyperkomplexer Zahlen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die Multiplikation in einer hyperkomplexen Algebra A ist bilinear über den reellen Zahlen, d.h. es gilt (\alpha x)(\beta y) = \alpha \beta (xy)~~\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R};~x,y \in A

Folgende Eigenschaften werden nicht gefordert:

  • Für die Multiplikation von hyperkomplexen Zahlen muss das Kommutativgesetz nicht gelten.
  • Elemente müssen bezüglich der Multiplikation nicht notwendig invertierbar sein.
  • Die Multiplikation braucht nicht nullteilerfrei zu sein.

Konjugation[Bearbeiten]

Hyperkomplexe Zahlen lassen sich wie folgt als Summe darstellen:

  •  a = a_01 + a_1\mathrm i_1 + \cdots + a_n\mathrm i_n.

Die Größen \mathrm i_k für k>0 heißen imaginäre Einheiten. Die zu a konjugierte Zahl entsteht, indem alle imaginären Einheiten durch ihr negatives ersetzt werden (\mathrm i_k \mapsto -\mathrm i_k). Die zu a konjugiert komplexe Zahl wird durch \bar a oder a^* dargestellt. Ihre Summendarstellung ist

  •  \bar a = a_01 - a_1\mathrm i_1 - \cdots - a_n\mathrm i_n.

Die Konjugation ist eine Involution auf den hyperkomplexen Zahlen, das heißt, dass

  •  \bar{\bar a} = a .

Beispiele[Bearbeiten]

Komplexe Zahlen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Komplexe Zahl

Die Komplexen Zahlen \mathbb{C} sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, das durch

  • z = a + b\mathrm{i} mit \mathrm{i}^2 = -1

definiert ist.

Binäre Zahlen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Binäre Zahlen

Die Binären Zahlen sind definiert durch

  • z = a + bE mit E^2 = 1.

Duale Zahlen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Duale Zahlen

Die Dualen Zahlen sind definiert durch

  • z = a + b\varepsilon mit \varepsilon^2 = 0 .

Man beachte, dass sie nichts mit Dualzahlen zu tun haben.

Quaternionen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Quaternionen

Die Quaternionen (Symbol oft \mathbb{H} nach ihrem Entdecker W. R. Hamilton) bilden eine vierdimensionale \mathbb{R}-Algebra mit Division und assoziativer (aber nicht kommutativer) Multiplikation. Es handelt sich bei den Quaternionen also um einen Schiefkörper.

Biquaternionen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Biquaternionen

Die Biquaternionen sind als Quaternionen mit komplexen Koeffizienten definiert, d. h. sie bilden einen vierdimensionalen Vektorraum über \mathbb{C} ebenso wie die Quaternionen einen vierdimensionalen Vektorraum über \mathbb{R} bilden.

Oktonionen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Oktonionen

Die Oktonionen (Symbol \mathbb{O}, auch Oktaven genannt) sind achtdimensionale hyperkomplexe Zahlen mit Division und alternativer Multiplikation.

Sedenionen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Sedenion

Die Sedenionen (Symbol \mathbb{S}) sind sechzehndimensionale hyperkomplexe Zahlen. Ihre Multiplikation ist weder kommutativ, assoziativ noch alternativ. Auch besitzen sie keine Division; stattdessen haben sie Nullteiler.

Quadratische Matrizen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Quadratische Matrix

Sei n eine natürliche Zahl. Der \R^{n\times n} ist dann eine Algebra mit der n\times n-Einheitsmatrix als Einselement - also auch eine hyperkomplexe Algebra. Genauer ist sie eine assoziative hyperkomplexe Algebra und damit auch ein Ring und als solcher auch unitär. Die reellzahligen Vielfachen der Einheitsmatrix bilden eine zu \R isomorphe Unteralgebra.

Im Fall n=2 gibt es Unteralgebren, die zu den oben genannten 3 zweidimensionalen Algebren isomorph sind; sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Hauptdiagonalelemente stets übereinstimmen (was dem Realteil entspricht) und für die Elemente der Nebendiagonalen Regeln gelten, die die dargestellte Algebra festlegen:

  • Ein Nebendiagonalelement ist 0 → Die Algebra ist isomorph zu den Dualen Zahlen
  • Beide Nebendiagonalelemente stimmen überein → Die Algebra ist isomorph zu den Binären Zahlen
  • Jedes Nebendiagonalelement ist das Negative des anderen → Die Algebra ist isomorph zu den komplexen Zahlen

Bemerkung: Jede Matrix des dritten Typs, durch die Determinante dividiert, ist eine Drehmatrix des zweidimensionalen Raums; jede Matrix des zweiten Typs durch ihre Determinante (falls diese von 0 verschieden ist) entspricht einer Lorentz-Transformation in einem 1+1-dimensionalen Minkowskiraum.

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Mit dem Verdopplungsverfahren (auch als Cayley-Dickson-Verfahren bekannt) lassen sich neue hyperkomplexe Zahlensysteme erzeugen, deren Dimension doppelt so groß ist wie die des Ausgangszahlensystems.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]