Hyperrechteck

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Zweidimensionale Projektion eines vierdimensionalen Hyperrechtecks.

Ein Hyperrechteck oder auch Hyperquader ist in der Geometrie die Verallgemeinerung des Rechtecks und des Quaders auf beliebig viele Dimensionen.

Definition[Bearbeiten]

Ein Hyperrechteck R im n-dimensionalen Raum \R^n ist das kartesische Produkt von n reellen Intervallen [a_i, b_i] mit i = 1, \ldots , n, das heißt

R = \prod_{i=1}^{n} [a_i, b_i] = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \ldots \times [a_n, b_n].

Beispiele[Bearbeiten]

Für n=1 erhält man so ein Intervall, für n=2 ein Rechteck und für n=3 einen Quader.

Für den Spezialfall, dass alle Intervalle gleich dem Einheitsintervall [0,1] sind, erhält man den Einheitshyperwürfel

R = \prod_{i=1}^{n} [0, 1] = [0, 1]^n.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Begrenzende Elemente[Bearbeiten]

Jedes n-dimensionale Hyperrechteck mit n\geq 2 hat

  • 2^n Ecken,
  • n2^{n-1} Kanten, die rechtwinklig aufeinanderstoßen und
  • 2n Seitenflächen, die ihrerseits Hyperrechtecke der Dimension n-1 sind.

Allgemein wird ein n-dimensionales Hyperrechteck von

{n \choose k} \cdot 2^{n-k}

Hyperrechtecken der Dimension k begrenzt, wobei k \in \{ 0, \ldots , n-1 \} ist.

Volumen und Oberfläche[Bearbeiten]

Das Volumen eines Hyperrechtecks R beträgt

\operatorname{vol}(R) = \prod_{i=1}^n (b_i-a_i) = (b_1 - a_1) \cdot (b_2 - a_2) \cdot \ldots \cdot (b_n - a_n).

Das ist der Ausgangspunkt für die Volumenbestimmung sehr viel allgemeinerer Mengen, wie in der Konstruktion des n-dimensionalen Lebesguemaßes in der Maßtheorie deutlich wird. Der Oberflächeninhalt beträgt

\operatorname{vol}(\partial R) = 2 \sum_{j=1}^n \prod_{i=1 \atop i \neq j}^n (b_i-a_i).

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]