Hypograph

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In der Mathematik bezeichnet der Hypograph einer reellwertigen Funktion f die Menge aller Punkte, die auf oder unter ihrem Graphen liegen.

Definition[Bearbeiten]

Sei X \subset \R^n. Der Hypograph der Funktion f \colon X \to \R ist definiert durch[1]

\mathrm{hypo}\, (f) := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R} \, : \, \mu\le f(x) \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}\,.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Sei X \subset \R^n. Für Funktionen f \colon X \rightarrow \mathbb{R} gilt:

  • f ist genau dann konkav, wenn der Hypograph von f eine konvexe Menge bildet.
  • f ist genau dann oberhalbstetig, wenn der Hypograph von f eine abgeschlossene Menge bildet.
  • Ist f eine affin-lineare Funktion, dann definiert ihr Hypograph einen Halbraum in X.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Wilhelm Rödder, Peter Zörnig: Wirtschaftsmathematik für Studium und Praxis 3 - Analysis II. Springer, 1997, ISBN 978-3-540-61716-7, S. 55.