Ikosaedergruppe

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Die Ikosaedergruppe I_h ist die Punktgruppe des Ikosaeders, des Dodekaeders (der dual zum Ikosaeder ist). Sie besteht aus den Drehungen und Spiegelungen, die das Ikosaeder in sich überführen und hat die Ordnung 120. Sie ist zu A_5 \times C_2 isomorph, wobei A_5 die Alternierende Gruppe der Ordnung 5 ist (Gruppe der geraden Permutationen von 5 Objekten) und C_2 die Zyklische Gruppe der Ordnung 2 ist (bestehend aus der Identität und der Raumspiegelung am Zentrum des Ikosaeders).

Aufteilung der Kugeloberfläche in Fundamentalbereiche nach Ikosaedersymmetrie

Die zu A_5 isomorphe Untergruppe I (die Ikosaeder-Drehgruppe) besteht aus den orientierungserhaltenden Bewegungssymmetrien des Ikosaeders (Drehungen). Man kann I z. B. als Gruppe der geraden Permutationen der fünf einem regulären Dodekaeder einbeschriebenen Würfel realisieren. A_5 ist die kleinste einfache nicht kommutative Gruppe und hat Ordnung 60.

Die Ikosaedergruppe enthält fünfzählige Drehungen und ist somit inkompatibel mit kristalliner Fernordnung (siehe Raumgruppe). Quasikristalle besitzen dagegen häufig ikosaedrische Symmetrie.

Die Charaktertafel der Ikosaedergruppe enthält den goldenen Schnitt und verwandte Zahlen, was eine direkte Konsequenz der fünfzähligen Drehsymmetrie ist.

Da der Fußball aus einem Ikosaederstumpf abgeleitet ist, hat er auch die Ikosaedergruppe als Symmetriegruppe, ebenso wie auch das "Fußballmolekül" C60 (Buckyball).

Die Ikosaedergruppe hat vielfältige Anwendungen in der Mathematik, die in dem klassischen Werk von Felix Klein Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade dargestellt.[1][2] Die Gleichung fünften Grades hat nach der Galoistheorie keine Lösung in Radikalen, da A_5 nicht auflösbar ist (sie ist eine Endliche einfache Gruppe).

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Neuausgabe von Peter Slodowy, Birkhäuser 1993, ursprünglich Leipzig, Teubner 1884, Online
  2. Slodowy Das Ikosaeder und die Gleichung fünften Grades, Mathematische Miniaturen 3, Birkhäuser 1986