Imre Bárány

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Imre Bárány (* 7. Dezember 1947 in Mátyásföld, Budapest) ist ein ungarischer Mathematiker, der sich mit Kombinatorik und diskreter Geometrie beschäftigt.

Bárány ist ein Mathematiker am Alfred-Renyi-Institut der Ungarischen Akademie der Wissenschaften. Er ist außerdem Professor am University College in London.

1978 gab er einen neuen, kurzen Beweis der Vermutung von Martin Kneser über die chromatische Zahl von Kneser-Graphen.[1] 1980 gab er einen neuen Beweis des Satzes von Borsuk und Ulam.[2] 1981 bewies er mit S. B. Shlosman und A. Szucs eine topologische Verallgemeinerung eines Satzes von Helge Tverberg (siehe Topologische Kombinatorik).[3]

Mit Zoltán Füredi gab er einen Algorithmus für das kryptographische Protokoll Mental Poker[4] und bewies, dass die Berechnung des Volumens einer durch ein Zugehörigkeits-Orakel für Punkte definierten konvexen Menge im d-dimensionalen Raum ein im Allgemeinen schwieriges (nicht-polynomial-zeitliches) Problem ist.[5]

2000 löste er das Problem von James Joseph Sylvester über die Wahrscheinlichkeit, dass zufällig verteilte Punkte sich in konvexer Position befinden.[6] Sylvester fragte ursprünglich 1864 nach der Wahrscheinlichkeit, dass vier zufällig in der Ebene gewählte Punkte ein nicht konvexes Vierseit bilden.[7] Die Verallgemeinerung fragt nach der Wahrscheinlichkeit p (K, n), dass n zufällig gewählte Punkte eines konvexen Polytops K in d Dimensionen sich in konvexer Position befinden, das heißt kein Punkt der n zufällig gewählten Punkte liegt in der konvexen Hülle der anderen[8]. Barany befasste sich mit verschiedenen Fällen der verallgemeinerten Problemstellung.[9]

Mit Vershik und Pach löste er ein Problem von Wladimir Arnold über die Anzahl konvexer Polytope aus Gitterpunkten.[10] Mit Van Vu bewies er einen zentralen Grenzwertsatz für Zufalls-Polytope.[11].

1989 bewies er mit László Lovász und Füredi eine asymptotische Abschätzung für die Anzahl der Ebenen, die eine Menge S von n Punkten im dreidimensionalen euklidischen Raum in allgemeiner Lage in zwei Hälften teilen (wobei die Ebenen jeweils durch drei Punkte von S gehen).[12] Mit Füredi und J. Pach bewies er die Sechs-Kreise-Vermutung von László Fejes Tóth.[13] Sie besagt, dass bei einer Kreispackung in der Ebene, in der jeder Kreis sechs Nachbarkreise hat, entweder die hexagonale Kreispackung mit Kreisen von gleichem Radius vorliegt oder Kreise mit beliebig kleinem Radius vorkommen.

1985 erhielt er den Mathematikpreis der Ungarischen Akademie der Wissenschaften und 2010 wurde er deren korrespondierendes Mitglied. 2002 war er Invited Speaker auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Peking (Random Points, convex bodies, and lattices). Er ist Fellow der American Mathematical Society.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. A short proof of Knesers conjecture, J. Comb. Theory, A, Band 25, 1978, S. 325–326, auch dargestellt in Aigner, Ziegler: Das BUCH der Beweise, Springer. Der erste Beweis stammte von László Lovász 1978.
  2. Borsuks theorem through complementary pivoting, Math. Programming, Band 18, 1984, S. 84–88. Dargestellt in Jiri Matousek: Using the Borsuk-Ulam Theorem, Springer 2003
  3. Barany, S. B. Shlosman, A. Szucs: On a topological generalization of a theorem of Tverberg, J. London Math. Soc. (2), Band 23, 1981, S. 158–164
  4. Barany, Füredi: Mental poker with three or more players, Information and Control, Band 59, 1983, S. 84–93
  5. Bárány, Füredi: Computing the volume is difficult, Discrete and Computational Geometry, Band 2, 1987, S. 319–326
  6. Sylvesters question: the probability that n points are in convex position, Annals of probability, Band 27, 2000, S. 2020–2034
  7. reentrant quadrilateral, das heißt der vierte Punkt liegt innerhalb des von den drei anderen Punkten gebildeten Dreiecks.
  8. Sylvesters Problem fragt nach dem Komplement dieser Wahrscheinlichkeit, das heisst für den Fall, dass sich die Punkte nicht in konvexer Position befinden
  9. siehe den Übersichtsartikel von Barany: Random points and lattice points in convex bodies, Bulletin AMS, Band 45, 2008, S.339
  10. Barany, Pach: On the number of convex lattice polytopes, Comb. Prob. Comp., Band 1, 1991, S.295, Barany, Vershik: On the number of convex lattice polytopes, Geometry and Functional Analysis, Band 12, 1992, S.381
  11. Barany, Vu Central limit theorems for Gaussian polytopes, Annals of Probability, Band 35, 2007, S.1593-1621
  12. Barany, Füredi, Lovasz: On the number of halving planes, Combinatorica, Band 10, 1990, S. 175–185
  13. Bárány, Füredi, Pach: Discrete convex functions and proof of the six circle conjecture of L. Fejes Toth, Canadian J. Mathematics, Band 36, 1983, S. 569–576