Induzierter Luftwiderstand

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Schematische Darstellung von Auftriebsverteilung, Umströmung der Flügelenden und Randwirbel

Ein Körper, der einer Strömung eines Fluids ausgesetzt ist, erfährt einen Widerstand. Dieser Widerstand kann in einzelne Komponenten zerlegt werden, die verschiedene Ursachen haben.

Eine dieser Komponenten ist der induzierte Widerstand (auch: induzierter Luftwiderstand). Er wird durch nicht in Fluss- bzw. Bewegungsrichtung fließende Ausgleichsströmungen hervorgerufen, die durch strömungsbedingte Druckunterschiede entstehen. Der induzierte Widerstand geht additiv mit dem Oberflächenwiderstand (Reibung) und dem Formwiderstand (Stirnfläche) in den Gesamtwiderstand ein.

Induzierter Widerstand bei einem Flugzeug[Bearbeiten]

Bei der Tragfläche eines Flugzeuges lässt sich der induzierte Widerstand besonders gut veranschaulichen. Das Flugzeug erzeugt dynamischen Auftrieb, indem es eine Tragfläche mit einem bestimmten Anstellwinkel durch die Luft bewegt. Dadurch entsteht oberhalb des Flügels relativer Unterdruck und unterhalb des Flügels relativer Überdruck. An den Enden der Flügel stoßen die Gebiete mit den unterschiedlichen Druckverhältnissen zusammen, und es findet eine ausgleichende Strömung vom Gebiet höheren Druckes zum Gebiet niedrigeren Druckes statt, also von der Unterseite zur Oberseite. Es entstehen an den Flügelenden zwei gegenläufige Randwirbel, die keinen Beitrag zum Auftrieb leisten. Die stete Erzeugung dieser Wirbel benötigt jedoch Energie und wird „induzierter Widerstand“ genannt. Der Widerstandsbeiwert ist bei optimaler Auftriebsverteilung (siehe unten) nur abhängig von der Flügelstreckung und vom Auftriebsbeiwert nach der Formel:

C_{W_i}=\frac{{C_A}^2}{\pi\Lambda}         ({C_A} ist der Auftriebsbeiwert, {\Lambda} ist die Streckung)

Der induzierte Widerstand kann auch in Form des zusätzlichen Anstellwinkels gegenüber den reinen Profildaten (mit Λ = ∞) angegeben werden:

\alpha_{ind}=\frac{{C_A}}{\pi\Lambda}     (in rad)      oder      \alpha_{ind}=\frac{C_A \cdot 57,3}{\pi\Lambda}     (in Winkelgrad [°])

Der induzierte Widerstand hat bei Flugzeugen im Langsamflug einen Anteil von über 50% am gesamten Widerstand.

Streckung[Bearbeiten]

Der Luftstrom am äußersten Teil des Flügels wird durch die Ausgleichsströmung am meisten beeinflusst. Flügel mit einer großen Streckung erzeugen daher bei gleicher Fläche und gleichem Auftrieb umgekehrt proportional zur Streckung einen geringeren induzierten Widerstand als tiefe Flügel mit kleiner Streckung.

Reduktion des Profil-Auftriebsbeiwertes[Bearbeiten]

Profilpolare sind immer als Flügel mit unendlicher Streckung aufgeführt. Der induzierte Widerstand kann auch in Form einer Auftriebsverminderung, und somit einer Leistungsreduktion angegeben werden[1]. Die Formel lautet:

C_{a \, \mathrm {gestreckt}} = C_{a \, \mathrm {Profil}} \cdot \frac {\Lambda}{\Lambda + 2}

Einfluss der Geschwindigkeit[Bearbeiten]

Bei steigender Geschwindigkeit eines Flugzeuges im Horizontalflug wird der Anstellwinkel kleiner, da die Auftriebskraft immer das Flugzeuggewicht kompensieren muss und somit gleich bleibt. Aufgrund des geringeren Anstellwinkels ist der induzierte Widerstand dann geringer. Umgekehrt ist im Langsamflug, z.B. bei Start und Landung, der induzierte Widerstand am größten.

Auftriebsverteilung, Oswaldfaktor[Bearbeiten]

Die Supermarine Spitfire hatte einen fast elliptischen Flügelgrundriss

Die optimale Verteilung des Auftriebs über die Spannweite ist elliptisch. Der dazugehörende optimale Flügelgrundriss ist nur ungefähr elliptisch, da der Auftrieb nur ungefähr proportional zur Flügeltiefe ist (Re-Zahl-Änderung mit der Flügeltiefe). Dies lässt sich mathematisch aus der Prandtl'schen Traglinientheorie (nach Ludwig Prandtl) herleiten. In dieser Theorie wird die Strömung um den Tragflügel als Potentialströmung modelliert, und es werden noch einige Annahmen getroffen, die eine analytische Lösung des Problems ermöglichen.

Sobald der Flügel einen anderen Grundriss aufweist, beispielsweise einen rechteckigen oder spitzigen, erhöht sich der induzierte Widerstand. Dies wird durch den Oswaldfaktor erfasst. Dieser Faktor ist als Verhältnis zum theoretischen Optimum definiert und somit immer kleiner als eins. Je höher der Oswaldfaktor, desto günstiger ist die Geometrie des Flügels. Im Idealfall (Ellipse) ist der Oswaldfaktor gleich eins. Üblicherweise liegt der Oswaldfaktor im Bereich von 0,6 bis 0,9. Zur Widerstandsoptimierung verwendet man konstruktive Varianten wie z.B. Schränkung, Zuspitzung, reduzierte Wölbung und Dicke oder Winglets.

Zur Beschreibung des Einflusses einer beliebigen Auftriebsverteilung auf den induzierten Widerstand wurde der Oswald-Faktor bzw. der k-Faktor eingeführt. Mit diesen Faktoren wird die Abweichung des induzierten Widerstands zwischen der optimalen und der realen Auftriebsverteilung in einem Wert zusammengefasst. In älteren Publikationen findet man vorwiegend den Oswald-Faktor, während Publikationen der jüngeren Zeit den k-Faktor bevorzugen.

C_{W_i}=\frac{{C_A}^2}{\pi \Lambda e}      (e = Oswald-Faktor < 1)

oder

C_{W_i}=\frac{{C_A}^2}{\pi \Lambda}k      (k = k-Faktor > 1)

Beide Betrachtungsweisen sind äquivalent. Der k-Faktor ist wie folgt definiert:

k=\frac{{C_{Wi}}}{{C_{Wi_{\mathrm {elliptisch}}}}} = \frac{{1}}{{e}}

Der Oswaldfaktor wird auch als Flügelwirkungsgrad oder Spannweitenwirkungsgrad bezeichnet.

Literatur[Bearbeiten]

  • Götsch, Ernst: Luftfahrzeugtechnik. Motorbuchverlag Stuttgart 2003, ISBN 3-613-02006-8
  • Hermann Schlichting, Erich Truckenbrodt: Aerodynamik des Flugzeugs 2 (Klassiker der Technik). Springer Verlag Berlin 2001, ISBN 3-540-67375-X
  • Peter Thiede: Aerodynamic drag reduction technologies. Springer, Berlin 2001, ISBN 978-3-540-41911-2.

Quellen[Bearbeiten]

  1. Grundlagen Teil 1

Weblinks[Bearbeiten]