Inklusionsabbildung

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Zwei Beispiele für eine Inklusion. Bsp b) zeigt eine echte Inklusion.

Unter einer Inklusionsabbildung (kurz auch Inklusion genannt) versteht man die mathematische Funktion, die eine Teilmenge in ihre Grundmenge einbettet.

Für Mengen A und B mit A \subseteq B ist die Inklusionsabbildung i\colon A\rightarrow B also gegeben durch die Abbildungsvorschrift i(x):=x.

Manchmal wird das spezielle Pfeilsymbol \hookrightarrow zur Kennzeichnung benutzt, man schreibt dann i \colon A \hookrightarrow B.

Man spricht von einer echten Inklusion, falls A eine echte Teilmenge von B ist, das heißt, wenn es Elemente in B \setminus A gibt. Die Inklusionsabbildung ist in diesem Fall nicht surjektiv. Ist A = B, so ist die Inklusion die Identitätsabbildung.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Jede Inklusionsabbildung ist injektiv.
  • Eine beliebige Funktion f : AB lässt sich bezüglich der Verkettung von Funktionen zerlegen als f = h o g, wobei g surjektiv und h injektiv ist: Sei C := im fB die Bildmenge von f und g : AC die Funktion, die auf A mit f übereinstimmt, also g(x) := f(x). Für h : CB nimmt man die Inklusionsabbildung.
  • Ist f : AB eine beliebige Funktion und X eine Teilmenge der Definitionsmenge A, dann versteht man unter der Einschränkung f |X von f auf X diejenige Funktion g : XB, die auf X mit f übereinstimmt. Mit Hilfe der Inklusion i : XA lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als
f|_{X} := f \circ i.
  • Umgekehrt lässt sich jede Inklusionsabbildung i : A \hookrightarrow B als Einschränkung einer geeigneten identischen Abbildung auffassen: i=\left(\operatorname{id}_B\right)|_A