Inklusionsabbildung

Unter einer Inklusionsabbildung (kurz auch Inklusion genannt) versteht man die mathematische Funktion, die eine Teilmenge in ihre Grundmenge einbettet.

Für Mengen A und B mit A ⊆ B ist die Inklusionsabbildung i : A → B also gegeben durch i(x) := x.

Manchmal wird das spezielle Pfeilsymbol $\hookrightarrow$ zur Kennzeichnung benutzt, man schreibt dann
$i : A \hookrightarrow B$.

Eigenschaften

• Jede Inklusionsabbildung ist injektiv.

• Eine beliebige Funktion f : A → B lässt sich bezüglich der Verkettung von Funktionen zerlegen als f = h o g, wobei g surjektiv und h injektiv ist: Sei C := im f ⊆ B die Bildmenge von f und g : A → C die Funktion, die auf A mit f übereinstimmt, also g(x) := f(x). Für h : C → B nimmt man die Inklusionsabbildung.

• Ist f : A → B eine beliebige Funktion und X eine Teilmenge der Definitionsmenge A, dann versteht man unter der Einschränkung f |_X von f auf X diejenige Funktion g : X → B, die auf X mit f übereinstimmt. Mit Hilfe der Inklusion i : X → A lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als

$f|_{X} := f \circ i$.

• Umgekehrt lässt sich jede Inklusionsabbildung als Einschränkung einer geeigneten identischen Abbildung auffassen.