Integralexponentialfunktion

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Darstellung der Funktionen \operatorname E_1(x) (oben) und \operatorname{Ei}(x) (unten)

In der Mathematik ist die Integralexponentialfunktion \operatorname{Ei}(x) als

\operatorname{Ei}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}t\,\mathrm dt = -\int^\infty_{-x} \frac{e^{-t}}t\,\mathrm dt

definiert.

Da \tfrac 1t bei t=0 divergiert, ist das obige Integral für x>0 als cauchyscher Hauptwert zu verstehen.

Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung

\operatorname{Ei}(x) = \gamma + \ln \left|x\right| + \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k! \cdot k}\ ,

wobei ln der natürliche Logarithmus und \gamma die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem Integrallogarithmus \operatorname{li}(x) verwandt, es gilt

\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\quad 0 < x \neq 1.

Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert:

\operatorname E_1(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-tx}}t\,\mathrm dt = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}t\,\mathrm dt.

Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da

\operatorname{Ei}(-x) = -\operatorname E_1(x).

Beide Funktionen können gemeinsam als ganze Funktion ausgedrückt werden:

\operatorname{Ein}(x) = \int_0^x\frac{1-e^{-t}}t\,\mathrm dt = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k!k}.

Durch diese Funktion lassen sich die anderen beiden als

\operatorname E_1(x) = -\gamma-\ln x + \operatorname{Ein}(x)

und

\operatorname{Ei}(x) = \gamma+\ln x - \operatorname{Ein}(-x)

darstellen.

Die Integralexponentialfunktion ist Spezialfall der unvollständigen Gammafunktion

E_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).

Sie kann auch als

E_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\,\mathrm dt \quad \Re (x)>0

verallgemeinert werden.

Quellen[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]