Integralexponentialfunktion

Darstellung der Funktionen $\operatorname E_1(x)$ (oben) und $\operatorname{Ei}(x)$ (unten)

In der Mathematik ist die Integralexponentialfunktion $\operatorname{Ei}(x)$ als

$\operatorname{Ei}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}t\,\mathrm dt = -\int^\infty_{-x} \frac{e^{-t}}t\,\mathrm dt$

definiert.

Da $\tfrac 1t$ bei $t=0$ divergiert, ist das obige Integral für $x>0$ als cauchyscher Hauptwert zu verstehen.

Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung

$\operatorname{Ei}(x) = \gamma + \ln \left|x\right| + \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k! \cdot k}\ ,$

Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem Integrallogarithmus $\operatorname{li}(x)$ verwandt, es gilt

$\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\quad 0 < x \neq 1.$

Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert:

$\operatorname E_1(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-tx}}t\,\mathrm dt = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}t\,\mathrm dt.$

Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da

$\operatorname{Ei}(-x) = -\operatorname E_1(x).$

Beide Funktionen können gemeinsam als ganze Funktion ausgedrückt werden:

$\operatorname{Ein}(x) = \int_0^x\frac{1-e^{-t}}t\,\mathrm dt = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k!k}.$

Durch diese Funktion lassen sich die anderen beiden als

$\operatorname E_1(x) = -\gamma-\ln x + \operatorname{Ein}(x)$

und

$\operatorname{Ei}(x) = \gamma+\ln x - \operatorname{Ein}(-x)$

darstellen.

Die Integralexponentialfunktion ist Spezialfall der unvollständigen Gammafunktion

$E_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).$

Sie kann auch als

$E_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\,\mathrm dt \quad \Re (x)>0$

verallgemeinert werden.

Quellen [Bearbeiten]

William H. Press et al.: Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York 1989.
Milton Abramowitz und Irene A. Stegun (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, New York 1972. (Siehe Kapitel 5)
R. D. Misra: Proc. Cambridge Phil. Soc. Band 36, 1940, S. 173 (Bitte überprüfen! Nach JFM zweifelhaft, befremdlicher Titel: On the stability of crystal lattices. II, p.173-182)