Integralkriterium

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Untere Abschätzung der harmonischen Reihe durch Fläche unter der Funktion 1/x

Das Integralkriterium (auch Integralvergleichskriterium) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für unendliche Reihen. Die Reihe wird dabei als Fläche unter einer Treppenfunktion betrachtet, die durch den Flächeninhalt unter einer Kurve abgeschätzt wird. Mit einer Abschätzung nach oben lässt sich die Konvergenz nachweisen, nach unten die Divergenz. Der Flächeninhalt unter der Kurve berechnet sich durch das Integral.

Formulierung[Bearbeiten]

Es sei f eine monoton fallende Funktion, die auf dem Intervall [p,\infty) mit einer ganzen Zahl p definiert ist und nur nichtnegative Werte annimmt. Dann konvergiert die Reihe \textstyle \sum_{n=p}^\infty f(n) genau dann, wenn das Integral \textstyle \int_p^\infty f(x) \,\mathrm dx existiert, das heißt, wenn es einen endlichen Wert annimmt.

Genauer: Sei p \in \Z, f: [p, \infty) \to [0, \infty) monoton fallend, dann gilt

f ist auf [p, \infty) integrierbar \iff \sum_{n=p}^\infty f(n) ist konvergent.

Falls eines von beiden, also Existenz des Integrals beziehungsweise Konvergenz der Reihe, und damit auch das andere, zutrifft, gelten die Abschätzungen

 \sum_{n=p+1}^\infty f(n) \leq \int_p^\infty f(x) \,\mathrm dx \leq \sum_{n=p}^\infty f(n).

Beispiel[Bearbeiten]

Man möchte zu der gegebenen Funktion  f mit  f(x) = \frac{1}{x^2} prüfen, ob ihre zugehörige Summe

 \sum_{n=1}^\infty f(n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}

konvergiert.  f ist im Intervall  I = [1, \infty) monoton fallend und über das Integralkriterium erhält man schließlich:

 \int \limits_1^\infty \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^\infty = 1.

Das Integral ist endlich und somit muss auch die Reihe  \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots konvergent sein.

Veranschaulichung[Bearbeiten]

Das Integralkriterium ist schon durch die Anschauung zugänglich: Gerade die letzte Zeile ähnelt einer populären Begründung des Begriffs des Riemann-Integrals mithilfe von Ober- und Untersummen.

Weil nach Voraussetzung ja f monoton fällt, ist auf jedem Intervall [q,q+1] (mit einer ganzen Zahl q) f(q) der größte und f(q+1) der kleinste Funktionswert auf diesem Intervall. Weil das Intervall die Breite 1 hat, ist der Flächeninhalt unter f immer kleiner oder gleich f(q) \cdot 1 und größer oder gleich f(q+1) \cdot 1. Wenn nun das Integral oder die Reihe konvergiert, so muss auch der jeweils andere Ausdruck konvergieren.

Oder: Die Reihe \textstyle \sum_{n=p}^\infty f(n) konvergiert, nähert sich also ab p unendlich nahe an den Grenzwert an. Für das Integral bedeutet dies, dass die Fläche nicht mehr größer wird, sondern sich ebenfalls an einen (Flächen)-Wert annähert. Hätte die Fläche gegen unendlich keinen Grenzwert, könnte nie ein Wert für das Integral \textstyle \int_p^\infty f(x) \mathrm dx fest gemacht werden und somit das Integral keinen endlichen Wert annehmen, was im Widerspruch zur obigen Definition steht.

Literatur[Bearbeiten]