Isentropenexponent

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Spezialfälle der polytropen Zustandsänderung; n = 0: isobar, n = 1: isotherm, n = κ: isentrop, n = ∞: isochor

Der Isentropenexponent (Formelzeichen κ) oder auch Adiabatenexponent genannt, ist der Exponent in der Adiabatengleichung für ideale Gase.

\ pV^{\kappa}= \mathrm{const.}

Der Isentropenexponent entspricht auch der thermischen Raumausdehnung (Formelzeichen γ, Einheit K−1. κ=γ+1). Bei idealem Gas gilt: \gamma Gas    = \frac{1}{T} (T ist die Kelvintemperatur).

Da eine Zustandsänderung isentrop ist, wenn sie adiabat und reversibel verläuft, wie das z. B. bei großräumigen Luftströmungen angenähert der Fall ist, nennt man den Exponenten in der Meteorologie auch oft Adiabatenexponent, Adiabatenkoeffizient oder Adiabatenindex. In der Technik ist in der Regel eine adiabate Zustandsänderung (z. B. in einer Dampfturbine) nicht isentrop, da Reibungs-, Drossel- und Stoßvorgänge Entropie produzieren (vergl. „Adiabate Maschine“ und „Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik“). Diese Zustandsänderungen lassen sich näherungsweise durch eine Polytrope mit einem variablen Polytropenexponenten n beschreiben.

Die Isentrope ist der Spezialfall einer Polytrope mit  n=\kappa (vergl. Bild).

Isentropenexponenten für Gase bei Normaldruck[1]
Temp Gas κ Temp Gas κ Temp Gas κ
–200 °C H2[2] 1,65 0 °C Trockene
Luft
1,40 –180 °C N2 1,43
–73 °C 1,44 400 °C 1,37 20 °C 1,40
20 °C 1,41 1000 °C 1,32 500 °C 1,36
1000 °C 1,36 2000 °C 1,30 1000 °C 1,32
2000 °C 1,31 −55 °C CO2 1,35 2000 °C 1,30
–250 °C
bis
1500 °C
He 1,67 20 °C 1,29 –73 °C CH4 1,34
400 °C 1,24 20 °C 1,31
1000 °C 1,18 350 °C 1,18
100 °C H2O 1,33 2000 °C 1,16 1000 °C 1,11
200 °C 1,32 20 °C CO 1,40 20 °C NH3 1,29
500 °C 1,28 1000°C 1,32 450 °C 1,20
1000 °C 1,23 2000 °C 1,29 0 °C bis
500 °C
Ne, Ar
Xe, Kr
1,67
2000 °C 1,19 –180 °C O2 1,44
20 °C NO 1,37 20 °C 1,40 20 °C SO2 1,28
2000 °C 1,29 400 °C 1,34 250 °C 1,22
20 °C N2O 1,32 1000 °C 1,31 15 °C C2H6 1,20
20 °C NO2 1,28 2000 °C 1,28 15 °C C3H8 1,13

Der Isentropenexponent ist definiert als das Verhältnis der Wärmekapazität bei konstantem Druck (Cp) zur Wärmekapazität bei konstantem Volumen (CV) und entspricht der temperaturbedingten Gasausdehnung. Der Wert hängt vom Freiheitsgrad der Gasteilchen ab. Gasmoleküle mit mehr Atomen besitzen einen höheren Freiheitsgrad. Der Freiheitsgrad setzt sich zusammen aus Translations-, Rotations- und Schwingungsfreiheitsgrad. Translation ist bei allen Temperaturen angeregt, Rotation erst ab mittleren, Vibration erst bei höheren Temperaturen. Anders gesagt: mit abnehmender Temperatur „frieren“ immer mehr Freiheitsgrade ein. Deshalb weist die Wärmekapazität von mehratomigen Gasen eine starke Temperaturabhängigkeit auf. Auch der Isentropenexponent mehratomiger Gasmoleküle ist stark temperaturabhängig, da die Gaskonstante, also die Differenz zwischen isobarer und isochorer Wärmekapazität bei allen Gasen über einen großen Temperaturbereich konstant bleibt.

\kappa = \frac{C_p}{C_V} = \frac{f + 2}{f}

Die Zahl der Freiheitsgrade eines Gasmoleküls ist von der Geometrie und der Bindungsstärke der Atome abhängig.

f = 3 \cdot N - r

Der Freiheitsgrad eines Körpers gibt an, wie viele Bewegungsmöglichkeiten dieser Körper innerhalb eines Koordinatensystems hat. Der einzelne Massenpunkt hat 3 Freiheitsgrade, er kann sich entlang der x-, y- und z-Achse im Raum bewegen. Er hat keine Rotationsfreiheitsgrade, denn ein Punkt kann sich nicht drehen. Ein System von N Punkten hat 3N Freiheitsgrade. Liegen zwischen den Punkten r starre Bindungen vor, so reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade auf 3 \cdot N - r.[3]

Der Isentropenexponent von trockener Luft beträgt unter Normalbedingungen κ = 1,402 und liegt damit nahe bei 1,4, was dem theoretischen Wert für 3 Translations- und 2 Rotationsfreiheitsgrade (bei zweiatomigen Molekülen ist in diesem Sinne keine Rotation um die Verbindungsachse möglich) entspricht. Schwingungszustände werden also kaum angeregt. Bei viel höheren Temperaturen kommt es neben den Molekülschwingungen durch Dissoziations- und Ionisationsvorgänge zu noch mehr Freiheitsgraden. Bei feuchter Luft kann es bei Expansion z. B. infolge der Abkühlung zum Wasserausfall kommen: durch die freiwerdende Kondensationswärme wird der Exponent niedriger.

Messen lässt sich der Isentropenexponent mit Hilfe des Rüchardt-Experiments.

Idealisierte molare Wärmekapazität C_V und C_p ; Isentropenexponent \kappa ; Freiheitsgrade f von Gasen
Molekül  C_V  C_p  \kappa=\tfrac{C_p}{C_v} f = 3 \cdot N - r Beispiele
1-atomige Gase  \frac{3}{2} \cdot R  \frac{5}{2} \cdot R  \frac{5}{3}= 1{,}\overline 6 3=3 \cdot 1 - 0 Helium, Argon
2-atomige Gase  \frac{5}{2} \cdot R  \frac{7}{2} \cdot R  \frac{7}{5}=1{,}4 5=3 \cdot 2-1 Stickstoff, Sauerstoff, Wasserstoff, Kohlenmonoxid
3-atomige Gase, starres Molekül  \frac{6}{2} \cdot R  \frac{8}{2} \cdot  R  \frac{8}{6}= 1{,}\overline 3 6=3 \cdot 3 - 3 Wasserdampf, Lachgas
3-atomige Gase, nicht starres Molekül  \frac{7}{2} \cdot R  \frac{9}{2} \cdot  R  \frac{9}{7}\approx 1{,}29 7=3 \cdot 3 - 2 Kohlendioxid, Schwefeldioxid, Stickstoffdioxid
R = C_p - C_V; (Universelle Gaskonstante = 8,314 J/molK)

Literatur[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  1. NIST Standard Reference Database Number 69
  2. Engineering Toolbox: Hochtemperatur-cp-Werte
  3. dtv-Atlas zur Physik; Mechanik, Akustik, Thermodynamik, Optik. Band 1, München 1987ff, ISBN 3-423-03226-X, S. 49 und 109.