Isolierte Singularität

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Dieser Artikel behandelt Singularitäten komplexwertiger Funktionen. Für Singularitäten reellwertiger Funktionen, siehe Definitionslücke.

Isolierte Singularitäten werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie betrachtet. Isolierte Singularitäten sind besondere isolierte Punkte in der Quellmenge einer holomorphen Funktion. Man unterscheidet bei isolierten Singularitäten zwischen hebbaren Singularitäten, Polstellen und wesentlichen Singularitäten.

Definition[Bearbeiten]

Es sei \Omega \subseteq \mathbb C eine offene Teilmenge, z_0 \in \Omega. Ferner sei f\colon \Omega \setminus \{z_0\} \to \mathbb C eine holomorphe komplexwertige Funktion. Dann heißt z_0 isolierte Singularität von f.

Klassifizierung[Bearbeiten]

Jede isolierte Singularität gehört einer der folgenden drei Klassen an:

  • Der Punkt z_0 heißt hebbare Singularität, wenn f auf \Omega holomorph fortsetzbar ist. Nach dem riemannschen Hebbarkeitssatz ist dies z. B. dann der Fall, wenn f in einer Umgebung von z_0 beschränkt ist.
  • Der Punkt z_0 heißt Polstelle oder Pol, wenn z_0 keine hebbare Singularität ist und es eine natürliche Zahl k gibt, sodass (z-z_0)^k\cdot f(z) eine hebbare Singularität bei z_0 hat. Ist das k minimal gewählt, dann sagt man, f habe in z_0 einen Pol k-ter Ordnung.
  • Andernfalls heißt z_0 eine wesentliche Singularität von f.

Hebbare Singularitäten und Polstellen werden auch unter dem Begriff außerwesentliche Singularität zusammengefasst.

Isolierte Singularitäten und die Laurentreihe[Bearbeiten]

Der Typ der Singularität lässt sich auch an der Laurentreihe

\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n

von f in z_0 ablesen:

  • Eine hebbare Singularität liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil verschwindet, d. h. a_n=0 für alle negativen ganzen Zahlen n.
  • Ein Pol k-ter Ordnung liegt genau dann vor, wenn der Hauptteil nach k Gliedern abbricht, d. h. a_n=0 für alle n<-k.
  • Eine wesentliche Singularität liegt genau dann vor, wenn unendlich viele Glieder mit negativem Exponenten nicht verschwinden.

Aussagen über die Eigenschaften holomorpher Funktionen an wesentlichen Singularitäten machen der Große Satz von Picard und als einfacherer Spezialfall davon der Satz von Casorati-Weierstraß.

Beispiele[Bearbeiten]

Plot der Funktion \exp(1/z). Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß).

Es sei \Omega=\mathbb C und z_0=0.

  • f\colon \Omega \setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{\sin(z)}{z} kann durch f(0)=1 stetig auf \Omega fortgesetzt werden, also hat f bei 0 eine hebbare Singularität.
  • f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto \tfrac{1}{z} hat bei 0 einen Pol erster Ordnung, weil g(z)=z^1\cdot f(z) durch g(0)=1 stetig auf \Omega fortgesetzt werden kann.
  • f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,\,z\mapsto\exp(\tfrac{1}{z}) hat bei 0 eine wesentliche Singularität, weil z^k \exp(\tfrac{1}{z}) für z\to 0 für festes k\in\mathbb N stets unbeschränkt ist beziehungsweise weil in der Laurentreihe um z_0 unendlich viele Glieder des Hauptteils nicht verschwinden, denn es gilt
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,z^n}\,.

Quellen[Bearbeiten]