Isolierter Punkt

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In der Topologie ist ein Element a einer Menge X ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der (außer a) keine weiteren Elemente von X liegen.[1] Ein Punkt a \in X ist also genau dann isoliert, wenn a kein Häufungspunkt von X ist.[2]

Ist jeder Punkt eines topologischen Raumes isoliert, nennt man den Raum diskret.

Beispiele[Bearbeiten]

Die folgenden Beispiele benutzen Teilmengen der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie.

  • In der Menge \{0\}\cup [1, 2] ist 0 ein isolierter Punkt.
  • In der Menge \{0\}\cup \{1, \tfrac 12, \tfrac 13, \dots\} ist jedes der Elemente \tfrac 1n ein isolierter Punkt, aber 0 ist kein isolierter Punkt.
  • In der Menge der natürlichen Zahlen \N=\{0, 1, 2, \dots\} sind alle Elemente isolierte Punkte. Es handelt sich also um einen diskreten Raum.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, Bibliographisches Institut, Band 121 (1978), ISBN 3-411-00121-6, §2.3 Definition
  2. Oliver Deiser: Reelle Zahlen: Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen, Springer-Verlag (2008), ISBN 3-5407-9375-5, Kap. 2.1, Definition auf Seite 299