Isotomisch konjugierte Punkte

Isotomisch konjugierte Punkte $P_{1}$ und $P_{1}$

Isotomisch konjugierte Punkte werden in der Dreiecksgeometrie betrachtet. Sie sind folgendermaßen definiert:

Gegeben sei ein Dreieck ABC. Die Seitenmittelpunkte seien mit D, E und F bezeichnet. Weiter seien auf den Seiten [BC], [CA] bzw. [AB] drei Punkte X₁, Y₁ und Z₁ gegeben, wobei sich die Geraden AX₁, BY₁ und CZ₁ (in der Skizze blau) in einem Punkt P₁ schneiden. Bezeichnet man die Spiegelpunkte von X₁, Y₁ und Z₁ an den jeweiligen Seitenmittelpunkten (D, E bzw. F) mit X₂, Y₂ und Z₂, so ergibt sich aus dem Satz von Ceva, dass sich auch die Geraden AX₂, BY₂ und CZ₂ (rot gezeichnet) in einem Punkt P₂ schneiden. Man bezeichnet die Punkte P₁ und P₂ als zueinander isotomisch konjugiert.

Beispiele

• Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist zu sich selbst isotomisch konjugiert.
• Der Nagel-Punkt und der Gergonne-Punkt sind zueinander isotomisch konjugiert.

Eigenschaften

• Hat ein Punkt P₁ die trilinearen Koordinaten $x:y:z$, so hat der isotomisch konjugierte Punkt P₂ die trilinearen Koordinaten ${\frac {1}{a^{2}x}}:{\frac {1}{b^{2}y}}:{\frac {1}{c^{2}z}}$. $a$, $b$ und $c$ stehen dabei für die Seitenlängen des gegebenen Dreiecks.
• Hat ein Punkt P₁ die baryzentrischen Koordinaten $x:y:z$, so hat der isotomisch konjugierte Punkt P₂ die baryzentrischen Koordinaten ${\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}$ bzw. gleichwertig $yz:zx:xy$.

Siehe auch

• Isogonal konjugierte Punkte

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 157–159, 278 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry)

Weblinks

Commons: Isotomic Conjugates – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Isotomic Conjugate. In: MathWorld (englisch).
• Paul Yiu: Isotomic and isogonal conjugates – Kapitel 12 eines Geometrieskripts (PDF, 10 Seiten)
• Navneel Singhal: Isotomic and isogonal conjugates (PDF, 12 Seiten)