Iwasawa-Theorie

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Iwasawa-Theorie ist innerhalb der Mathematik im Bereich der Zahlentheorie eine Theorie zur Bestimmung der Idealklassengruppe von unendlichen Körpertürmen, deren Galoisgruppe isomorph zu den p-adischen Zahlen ist. Die Theorie wurde in den 1950ern von Kenkichi Iwasawa zur Untersuchung von Kreisteilungskörpern begründet. In den frühen Siebzigern betrachtete Barry Mazur Verallgemeinerungen der Iwasawa-Theorie auf abelsche Varietäten. Darüber hinaus schlug Ralph Greenberg eine Iwasawa-Theorie für Motive vor.

Situation[Bearbeiten]

Die Ausgangsbeobachtung von Iwasawa war, dass es in der Algebraischen Zahlentheorie Körpertürme gibt, deren Galoisgruppe isomorph zur additiven Gruppe der p-adischen Zahlen ist. Diese Gruppe wird häufig multiplikativ geschrieben und mit \Gamma bezeichnet; sie ist der inverse Limes der (additiven) Gruppen

Z/pnZ,

wobei p eine fixierte Primzahl ist und n die natürlichen Zahlen durchläuft.

Beispiel[Bearbeiten]

Sei  \zeta=\zeta_p eine primitive p-te Einheitswurzel und betrachte den Körperturm

 K = \mathbf{Q} (\zeta) \subset K_{1} \subset K_{2} \subset \cdots \subset \mathbf{C},

wobei K_n den von einer primitiven p^{n+1}-ten Einheitswurzel erzeugten Körper bezeichnet (beachte die Indizierung). Sei K_\infty die Vereinigung all dieser Körper. Dann ist die Galoisgruppe Gal(K_\infty/K) isomorph zu \Gamma, da die Galoisgruppen von K_n über K gleich Z/pnZ sind. Ein interessanter Galois-Modul (also eine abelsche Gruppe, auf der die Galoisgruppe operiert) ergibt sich bei Betrachtung der p-Torsion der Idealklassengruppen der beteiligten Zahlkörper. Sei die p-Torsion der Idealklassengruppen von K_n mit I_n bezeichnet. Diese sind durch Norm-Abbildungen I_m \rightarrow I_n für m > n miteinander verbunden und bilden ein gerichtetes System. Die Gruppe Γ operiert dann auf dem inversen Limes I. Darüber hinaus ist I ein Modul über dem proendlichen Gruppenring \mathbb{Z}_p [[\Gamma]] (diese Beobachtung geht auf Jean-Pierre Serre zurück). Dieser Ring, der auch Iwasawa-Algebra genannt wird, ist regulär und zweidimensional, und es ist möglich, seine Moduln weitgehend zu klassifizieren.

Die Motivation war hier, dass die p-Torsion der Idealklassengruppe von K_\infty, wie bereits Kummer erkannte, ein Haupthindernis für einen Beweis des Großen Satzes von Fermat war. Kummer nannte in diesem Zusammenhang eine Primzahl regulär, wenn sie nicht die Klassenzahl von \mathbf{Q} (\zeta_p)  teilt. Iwasawas Idee war es, diese Torsion systematisch mit unendlicher Galois-Theorie zu studieren. Mit diesen Methoden konnte Iwasawa die p-Torsionen numerisch beschreiben. Dies ist der Inhalt des Satzes von Iwasawa.

Satz von Iwasawa[Bearbeiten]

Sei wie oben ein Körperturm K_n gegeben, dessen Galoisgruppe die p-adischen Zahlen sind, und sei p^{e_n}\, die Ordnung der p-Torsion von I_n. Dann gibt es ganze Zahlen \mu, \lambda und \nu derart, dass für n hinreichend groß die Beziehung e_n=\mu p^n+\lambda n+\nu gilt.

Beweisidee[Bearbeiten]

Aufgrund der Klassenkörpertheorie gibt es eine Erweiterung L_n von K_n derart, dass I_n \simeq Gal(L_n/K_n) , und zwar ist L_n die maximale unverzweigte p-abelsche Erweiterung von K_n. Die Vereinigung der L_n bildet dann einen Körper L_\infty, der die maximale unverzweigte abelsche pro-p-Erweiterung von K_\infty ist. Man betrachtet dann die Galoisgruppe X=Gal(L_\infty/K_\infty), die der inverse Limes der Gruppen Gal(L_n/K_n) ist, welche als Quotienten von X auftreten. Die Gruppe X besitzt als abelsche pro-p-Gruppe die Struktur eines \mathbb{Z}_p-Moduls. Daneben operiert die Galoisgruppe Gal(K_\infty/K) auf X, das dadurch ein \mathbb{Z}_p[[T]]-Modul wird (also ein Iwasawa-Modul). Durch Strukturuntersuchungen und die Klassifikation bis auf Pseudo-Isomorphismen aller Iwasawa-Moduln gelangt man zu asymptotischen Abschätzungen für die Ordnungen von Gal(L_n/K_n) und damit von In.

Weitere Entwicklungen und Hauptvermutung[Bearbeiten]

In den 1960ern wurde ein fundamentaler Zusammenhang zwischen der von Iwasawa entwickelten Modultheorie einerseits und p-adischen L-Funktionen andererseits entdeckt, die von Tomio Kubota und Heinrich-Wolfgang Leopoldt definiert wurden. Diese Funktionen werden ausgehend von Bernoulli-Zahlen mittels Interpolation definiert und stellen p-adische Analogien zu den Dirichlet L-Funktionen dar. Die sogenannte Hauptvermutung der Iwasawa-Theorie besagt, dass diese beiden Ansätze (Modultheorie und Interpolation) , p-adische L-Funktionen zu definieren, miteinander übereinstimmen. Diese Vermutung wurde 1984 von Barry Mazur und Andrew Wiles für die rationalen Zahlen Q und später für alle total reellen Zahlkörper von Andrew Wiles bewiesen. Diese Beweise orientierten sich an Ken Ribets Beweis der Umkehrung des Satzes von Herbrand. Neuerdings haben Chris Skinner und Eric Urban einen Beweis der Hauptvermutung für GL(2) angekündigt.[1]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Christopher Skinner, Eric Urban: The Iwasawa Main Conjectures for GL2. Preprint. Abgerufen am 30. Juli 2013 (PDF; 1,5 MB).. Veröffentlicht in Inv. Math., Band 194, 2014, S. 1-277