Jacobson-Radikal

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In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radikal eines Rings R ein Ideal von R, das Elemente von R enthält, die man als „nahe an Null“ betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach Nathan Jacobson benannt, der es als erster untersucht hat.

Jacobson-Radikal von R-Moduln[Bearbeiten]

Im Folgenden sei R ein Ring mit Eins und M ein R-Linksmodul.

Definition[Bearbeiten]

Der Durchschnitt aller maximalen R-Untermoduln von M wird als (Jacobson-)Radikal \mathrm{Rad}_R(M) (oder kurz \mathrm{Rad}(M)) bezeichnet. Hat M keine maximalen Untermoduln, so setzt man \mathrm{Rad}(M)=M.

Ist M endlich erzeugt, so gilt: \mathrm{Rad}(M) = \{x \in M | x \ \mathrm{ ist \ \ddot uberfl \ddot ussig \  in} \  M \}. Dabei heißt ein Element x von M überflüssig, wenn für jeden Untermodul N \subset M gilt: Aus M=N+Rx folgt bereits  M = N .

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Ist M endlich erzeugt und  N \subset M ein Untermodul von M mit  M = N + \mathrm{Rad}(M), dann ist bereits M=N. Diese Eigenschaft wird auch als Lemma von Nakayama bezeichnet.
  • Ist M endlich erzeugt und M \not = 0 , dann ist \mathrm{Rad}(M) \not = M . (Dies ist der Spezialfall N = 0 der vorigen Aussage.)
  • \mathrm{Rad}(M)=0 gilt genau dann, wenn M isomorph zu einem Untermodul eines direkten Produktes einfacher R-Moduln ist.
  • M ist genau dann endlich erzeugt und halbeinfach, wenn M artinsch und \mathrm{Rad}(M)=0 ist.

Jacobson-Radikal von Ringen[Bearbeiten]

Im Folgenden sei R ein Ring mit 1.

Definition[Bearbeiten]

Das Jacobson-Radikal des Ringes R wird als das Jacobson-Radikal des R-Linksmoduls R definiert. Es wird als J(R) notiert und durch folgende gleichwertige Bedingungen charakterisiert:

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Der Ring R ist genau dann halbeinfach, wenn er linksartinsch und J(R)=0 ist.
  • Für jeden linksartinschen Ring R ist der Ring R/J(R) halbeinfach.
  • Ist R linksartinsch, dann gilt für jeden R-Linksmodul M: J(R)M=\mathrm{Rad}(M).
  • J(R) ist das kleinste Ideal I von R mit der Eigenschaft, dass R/I halbeinfach ist.
  • Ist N ein Nillinksideal von R, dann gilt: N \subseteq J(R) .
  • Ist R linksartinsch, dann ist J(R) ein nilpotentes Ideal.
  • Ist R linksartinsch, dann ist das Jacobson-Radikal gleich dem Primradikal.
  • Mit dem Zornschen Lemma folgt für jeden Ring R\neq\{0\} die Existenz maximaler Ideale, für R\neq\{0\} gilt also J(R)\neq R.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Das Jacobson-Radikal eines Schiefkörpers ist \{0\}; ebenso das Jacobson-Radikal von \mathbb{Z}.
  • Das Jacobson-Radikal von \mathbb{Z}/24\mathbb{Z} ist 6\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}.
  • Das Jacobson-Radikal des Rings aller oberen n\times n-Dreiecksmatrizen über einem Körper K enthält diejenigen oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge verschwinden.
  • Das Jacobson-Radikal jedes lokalen Rings ist sein maximales Ideal, besteht also gerade aus seinen Nicht-Einheiten.
  • Das Jacobson-Radikal einer kommutativen Banachalgebra ist genau der Kern der Gelfand-Transformation.

Literatur[Bearbeiten]