Johnson-Körper

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Die Johnson-Körper sind eine Klasse geometrischer Körper.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Johnson-Körper sind streng konvexe Polyeder, die ausschließlich aus regelmäßigen Vielecken aufgebaut sind, aber weder platonische Körper, archimedische Körper, Prismen noch Antiprismen sind. Gemeinsam mit den catalanischen Körpern ist, dass die Ecken eines Johnson-Körpers nicht identisch sind. Eine Besonderheit unter den Johnson-Körpern ist das Pseudo-Rhombenkuboktaeder (J37), dessen Ecken zwar lokal uniform sind, aber nicht global.

1966 veröffentlichte Norman Johnson eine Liste von 92 derartigen Polyedern, von der er annahm, dass sie vollständig ist.[1] Diese Annahme wurde 1969 von Wictor Salgaller bewiesen.[2]

Liste[Bearbeiten]

Auf einen Johnson-Körper wird sich oft mit Jn bezogen, wobei n die Nummer des Körpers in der folgenden Liste ist. Beispielsweise ist die Dreieckskuppel J3.

In der folgenden Liste ist E die Anzahl der Ecken, K die Anzahl der Kanten, Fn die Anzahl der n-eckigen Flächen und F:=F3+F4+F5+... die Anzahl aller Flächen des jeweiligen Körpers.

Pyramiden, Kuppeln und Rotunden[Bearbeiten]

Jn Körper Abbildung Typ E K F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symmetrie
1 Quadratpyramide Square pyramid.png Pyramide 5 8 5 4 1 0 0 0 0 C4v
2 Fünfeckpyramide Pentagonal pyramid.png Pyramide 6 10 6 5 0 1 0 0 0 C5v
3 Dreieckskuppel Triangular cupola.png Kuppel 9 15 8 4 3 0 1 0 0 C3v
4 Quadratkuppel Square cupola.png Kuppel 12 20 10 4 5 0 0 1 0 C4v
5 Fünfeckskuppel Pentagonal cupola.png Kuppel 15 25 12 5 5 1 0 0 1 C5v
6 Fünfecksrotunde Pentagonal rotunda.png Rotunde 20 35 17 10 0 6 0 0 1 C5v

modifizierte Pyramiden[Bearbeiten]

Jn Name Abbildung Typ E K F F3 F4 F5 Symmetrie
7 verlängerte Dreieckpyramide Elongated triangular pyramid.png verlängerte Pyramide 7 12 7 4 3 0 C3v
8 verlängerte Quadratpyramide (gleichzeitig erweitertes Hexaeder bzw. Quadratprisma) Elongated square pyramid.png verlängerte Pyramide 9 16 9 4 5 0 C4v
9 verlängerte Fünfeckpyramide Elongated pentagonal pyramid.png verlängerte Pyramide 11 20 11 5 5 1 C5v
10 verdreht verlängerte Quadratpyramide Gyroelongated square pyramid.png verdreht verlängerte Pyramide 9 20 13 12 1 0 C4v
11 verdreht verlängerte Fünfeckpyramide (beschnittenes Ikosaeder) Gyroelongated pentagonal pyramid.png verdreht verlängerte Pyramide 11 25 16 15 0 1 C5v
12 Dreiecksbipyramide Triangular dipyramid.png Bipyramide 5 9 6 6 0 0 D3h
13 Fünfecksbipyramide Pentagonal dipyramid.png Bipyramide 7 15 10 10 0 0 D5h
14 verlängerte Dreiecksbipyramide Elongated triangular dipyramid.png verlängerte Bipyramide 8 15 9 6 3 0 D3h
15 verlängerte Quadratbipyramide (gleichzeitig zweifach erweitertes Hexaeder bzw. Quadratprisma) Elongated square dipyramid.png verlängerte Bipyramide 10 20 12 8 4 0 D4h
16 verlängerte Fünfecksbipyramide Elongated pentagonal dipyramid.png verlängerte Bipyramide 12 25 15 10 5 0 D5h
17 verdreht verlängerte Quadratbipyramide Gyroelongated square dipyramid.png verdreht verlängerte Bipyramide 10 24 16 16 0 0 D4d

modifizierte Kuppeln und Rotunden[Bearbeiten]

Jn Körper Abbildung Typ E K F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symmetrie
18 verlängerte Dreieckskuppel Elongated triangular cupola.png verlängerte Kuppel 15 27 14 4 9 0 1 0 0 C3v
19 verlängerte Quadratkuppel (Beschnittenes kleines Rhombenkuboktaeder) Elongated square cupola.png verlängerte Kuppel 20 36 18 4 13 0 0 1 0 C4v
20 verlängerte Fünfeckskuppel Elongated pentagonal cupola.svg verlängerte Kuppel 25 45 22 5 15 1 0 0 1 C5v
21 verlängerte Fünfecksrotunde Elongated pentagonal rotunda.png verlängerte Rotunde 30 55 27 10 10 6 0 0 1 C5v
22 verdreht verlängerte Dreieckskuppel Gyroelongated triangular cupola.png verdreht verlängerte Kuppel 15 33 20 16 3 0 1 0 0 C3v
23 verdreht verlängerte Quadratkuppel Gyroelongated square cupola.png verdreht verlängerte Kuppel 20 44 26 20 5 0 0 1 0 C4v
24 verdreht verlängerte Fünfeckskuppel Gyroelongated pentagonal cupola.png verdreht verlängerte Kuppel 25 55 32 25 5 1 0 0 1 C5v
25 verdreht verlängerte Fünfecksrotunde Gyroelongated pentagonal rotunda.png verdreht verlängerte Rotunde 30 65 37 30 0 6 0 0 1 C5v
26 verdrehter Doppelkeil Gyrobifastigium.png Doppelkuppel 8 14 8 4 4 0 0 0 0 D2d
27 Dreiecksdoppelkuppel (verdrehtes Kuboktaeder, Disheptaeder) Triangular orthobicupola.png Doppelkuppel 12 24 14 8 6 0 0 0 0 D3h
28 Quadratdoppelkuppel Square orthobicupola.png Doppelkuppel 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4h
29 verdrehte Quadratdoppelkuppel Square gyrobicupola.png Doppelkuppel 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4d
30 Fünfecksdoppelkuppel Pentagonal orthobicupola.png Doppelkuppel 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5h
31 verdrehte Fünfecksdoppelkuppel Pentagonal gyrobicupola.png Doppelkuppel 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5d
32 Fünfeckskuppelrotunde Pentagonal orthocupolarotunda.png Kuppelrotunde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
33 verdrehte Fünfeckskuppelrotunde Pentagonal gyrocupolarotunda.png Kuppelrotunde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
34 Fünfecksdoppelrotunde (verdrehtes Ikosidodekaeder) Pentagonal orthobirotunda.png Doppelrotunde 30 60 32 20 0 12 0 0 0 D5h
35 verlängerte Dreiecksdoppelkuppel Elongated triangular orthobicupola.png verlängerte Doppelkuppel 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3h
36 verlängerte verdrehte Dreiecksdoppelkuppel Elongated triangular gyrobicupola.png verlängerte Doppelkuppel 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3d
37 verlängerte verdrehte Quadratsdoppelkuppel (verdrehtes kleines Rhombenkuboktaeder) Elongated square gyrobicupola.png verlängerte Doppelkuppel 24 48 26 8 18 0 0 0 0 D4d
38 verlängerte Fünfecksdoppelkuppel Elongated pentagonal orthobicupola.png verlängerte Doppelkuppel 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5h
39 verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelkuppel Elongated pentagonal gyrobicupola.png verlängerte Doppelkuppel 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5d
40 verlängerte Fünfeckskuppelrotunde Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png verlängerte Kuppelrotunde 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
41 verlängerte verdrehte Fünfeckskuppelrotunde Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png verlängerte Kuppelrotunde 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
42 verlängerte Fünfecksdoppelrotunde Elongated pentagonal orthobirotunda.png verlängerte Doppelrotunde 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5h
43 verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelrotunde Elongated pentagonal gyrobirotunda.png verlängerte Doppelrotunde 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5d
44 verdreht verlängerte Dreiecksdoppelkuppel Gyroelongated triangular bicupola.png verdreht verlängerte Doppelkuppel 18 42 26 20 6 0 0 0 0 D3
45 verdreht verlängerte Quadratdoppelkuppel Gyroelongated square bicupola.png verdreht verlängerte Doppelkuppel 24 56 34 24 10 0 0 0 0 D4
46 verdreht verlängerte Fünfecksdoppelkuppel Gyroelongated pentagonal bicupola.png verdreht verlängerte Doppelkuppel 30 70 42 30 10 2 0 0 0 D5
47 verdreht verlängerte Fünfeckskuppelrotunde Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png verdreht verlängerte Kuppelrotunde 35 80 47 35 5 7 0 0 0 C5
48 verdreht verlängerte Fünfecksdoppelrotunde Gyroelongated pentagonal birotunda.png verdreht verlängerte Doppelrotunde 40 90 52 40 0 12 0 0 0 D5

erweiterte Prismen[Bearbeiten]

Jn Körper Abbildung E K F F3 F4 F5 F6 Symmetrie
49 erweitertes Dreiecksprisma Augmented triangular prism.png 7 13 8 6 2 0 0 C2v
50 doppelt erweitertes Dreiecksprisma Biaugmented triangular prism.png 8 17 11 10 1 0 0 C2v
51 dreifach erweitertes Dreiecksprisma Triaugmented triangular prism.png 9 21 14 14 0 0 0 D3h
52 erweitertes Fünfecksprisma Augmented pentagonal prism.png 11 19 10 4 4 2 0 C2v
53 doppelt erweitertes Fünfecksprisma Biaugmented pentagonal prism.png 12 23 13 8 3 2 0 C2v
54 erweitertes Sechsecksprisma Augmented hexagonal prism.png 13 22 11 4 5 0 2 C2v
55 doppelt erweitertes Sechsecksprisma (para) Parabiaugmented hexagonal prism.png 14 26 14 8 4 0 2 D2h
56 doppelt erweitertes Sechsecksprisma (meta) Metabiaugmented hexagonal prism.png 14 26 14 8 4 0 2 C2v
57 dreifach erweitertes Sechsecksprisma Triaugmented hexagonal prism.png 15 30 17 12 3 0 2 D3h

modifizierte platonische Körper[Bearbeiten]

Jn Körper Abbildung Typ E K F F3 F4 F5 Symmetrie
58 erweitertes Dodekaeder Augmented dodecahedron.png erweitertes Dodekaeder 21 35 16 5 0 11 C5v
59 doppelt erweitertes Dodekaeder (para) Parabiaugmented dodecahedron.png erweitertes Dodekaeder 22 40 20 10 0 10 D5d
60 doppelt erweitertes Dodekaeder (meta) Metabiaugmented dodecahedron.png erweitertes Dodekaeder 22 40 20 10 0 10 C2v
61 dreifach erweitertes Dodekaeder Triaugmented dodecahedron.png erweitertes Dodekaeder 23 45 24 15 0 9 C3v
62 doppelt beschnittenes Ikosaeder (meta) Metabidiminished icosahedron.png beschnittenes Ikosaeder 10 20 12 10 0 2 C2v
63 dreifach beschnittenes Ikosaeder Tridiminished icosahedron.png beschnittenes Ikosaeder 9 15 8 5 0 3 C3v
64 erweitertes dreifach beschnittenes Ikosaeder Augmented tridiminished icosahedron.png - 10 18 10 7 0 3 C3v

modifizierte archimedische Körper[Bearbeiten]

Jn Körper Abbildung Typ E K F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symmetrie
65 erweitertes abgestumpftes Tetraeder Augmented truncated tetrahedron.png erweitertes abgestumpftes Tetraeder 15 27 14 8 3 0 3 0 0 C3v
66 erweitertes abgestumpftes Hexaeder Augmented truncated cube.png erweitertes abgestumpftes Hexaeder 28 48 22 12 5 0 0 5 0 C4v
67 doppelt erweitertes abgestumpftes Hexaeder Biaugmented truncated cube.png erweitertes abgestumpftes Hexaeder 32 60 30 16 10 0 0 4 0 D4h
68 erweitertes abgestumpftes Dodekaeder Augmented truncated dodecahedron.png erweitertes abgestumpftes Dodekaeder 65 105 42 25 5 1 0 0 11 C5v
69 doppelt erweitertes abgestumpftes Dodekaeder (para) Parabiaugmented truncated dodecahedron.png erweitertes abgestumpftes Dodekaeder 70 120 52 30 10 2 0 0 10 D5d
70 doppelt erweitertes abgestumpftes Dodekaeder (meta) Metabiaugmented truncated dodecahedron.png erweitertes abgestumpftes Dodekaeder 70 120 52 30 10 2 0 0 10 C2v
71 dreifach erweitertes abgestumpftes Dodekaeder Triaugmented truncated dodecahedron.png erweitertes abgestumpftes Dodekaeder 75 135 62 35 15 3 0 0 9 C3v
72 verdrehtes Rhombenikosidodekaeder Gyrate rhombicosidodecahedron.png verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C5v
73 doppelt verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder (para) Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder 60 120 62 20 30 12 0 0 0 D5d
74 doppelt verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder (meta) Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C2v
75 dreifach verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder Trigyrate rhombicosidodecahedron.png verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C3v
76 Beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder Diminished rhombicosidodecahedron.png beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
77 verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (para) Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
78 verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (meta) Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder 55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
79 doppelt verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder 55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
80 doppelt beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (para) Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder 50 90 42 10 20 10 0 0 2 D5d
81 doppelt beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (meta) Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder 50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v
82 verdrehtes doppelt beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder 50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v
83 dreifach beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder Tridiminished rhombicosidodecahedron.png beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder 45 75 32 5 15 9 0 0 3 C3v

Übrige[Bearbeiten]

Jn Körper Abbildung E K F F3 F4 F5 F6 Symmetrie
84 Trigondodekaeder Snub disphenoid.png 8 18 12 12 0 0 0 D2d
85 Abgeschrägtes Quadratantiprisma Snub square antiprism.png 16 40 26 24 2 0 0 D4d
86 Sphenocorona Sphenocorona.png 10 22 14 12 2 0 0 C2v
87 Erweiterte Sphenocorona Augmented sphenocorona.png 11 26 17 16 1 0 0 Cs
88 Sphenomegacorona Sphenomegacorona.png 12 28 18 16 2 0 0 C2v
89 Hebesphenomegacorona Hebesphenomegacorona.png 14 33 21 18 3 0 0 C2v
90 Disphenocingulum Disphenocingulum.png 16 38 24 20 4 0 0 D2d
91 Bilunadoppelrotunde Bilunabirotunda.png 14 26 14 8 2 4 0 D2h
92 Dreieckshebosphenorotunde Triangular hebesphenorotunda.png 18 36 20 13 3 3 1 C3v

Literatur und Links[Bearbeiten]

  1. Norman W. Johnson: Convex Solids with Regular Faces. In: Canadian Journal of Mathematics. Bd. 18, 1966, ISSN 0008-414x, S. 169–200.
  2. Viktor A. Zalgaller: Convex Polyhedra with Regular Faces (= Seminars in Mathematics. Bd. 2, ISSN 0080-8873). Consultants Bureauvon, New York NY 1969.