Johnson-Kreis

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Dreieck mit Johnson-Kreisen (rot) und Johnson-Dreieck (blau)

In der Geometrie versteht man unter den Johnson-Kreisen eines Dreiecks drei Kreise mit gleichem Radius, die durch jeweils zwei Ecken gehen und einen Punkt gemeinsam haben. Das von den Mittelpunkten dieser Kreise gebildete Dreieck wird als Johnson-Dreieck bezeichnet. Die Namensgebung geht zurück auf den US-amerikanischen Geometer Roger Arthur Johnson (1890–1954).[1]

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die drei Johnson-Kreise eines Dreiecks existieren und sind eindeutig bestimmt.
  • Die drei Johnson-Kreise haben den gleichen Radius wie der Umkreis des gegebenen Dreiecks.
  • Das Johnson-Dreieck und das gegebene Dreieck sind kongruent. Das Drehzentrum der Kongruenzabbildung ist der Mittelpunkt des Feuerbachkreises.
  • Die Mittelsenkrechten des gegebenen Dreiecks sind die Höhen im Johnson-Dreieck, die Höhen des gegebenen Dreiecks sind die Mittelsenkrechten des Johnson-Dreiecks.
  • Deshalb ist der gemeinsame Punkt der drei Johnson-Kreise der Höhenschnittpunkt des gegebenen Dreiecks und damit der Umkreismittelpunkt des Johnson-Dreiecks.
  • Ebenfalls deshalb ist der Höhenschnittpunkt des Johnson-Dreiecks der Umkreismittelpunkt des gegebenen Dreiecks.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Clark Kimberling: Roger Arthur Johnson (1890–1954), geometer. University of Evansville, 22. August 2002, abgerufen am 16. Oktober 2013.