Jonckheere-Terpstra-Test

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Der Jonkheere-Terpstra-Test ist ein parameterfreier statistischer Test, mit dem ähnlich wie beim Kruskal-Wallis-Test im Rahmen einer Varianzanalyse verglichen wird, ob sich verschiedene unabhängige Stichproben (Gruppen) hinsichtlich einer ordinalskalierten Variable unterscheiden. Der Unterschied zum Kruskal-Wallis-Test ist, dass hier auf das Vorliegen eines Trends zwischen den Gruppen getestet wird.

Die Nullhypothese H0 lautet, das alle Stichprobenwerte aus Grundgesamtheiten G_i mit identischer Verteilung gezogen wurden: G_1\ =\ G_2\ = \ \dots\ = \ G_c

Als Alternativhypothese HA gilt: G_1\ \leq\ G_2\ \leq\ \dots\ \leq\ G_c, wobei mindestens eine strikte Ungleichung gilt.

Berechnung[Bearbeiten]

Die Teststatistik J lautet für eine Anzahl c von Gruppen mit jeweils n Messungen:

J\ = \ \sum_{i<j}^c U_{ij} \ = \ \sum_{i=1}^{c-1}\ \sum_{j=i+1}^{c}U_{ij}

Dabei ist U_{ij} definiert als

U_{ij}\ = \ \sum_{s=1}^{n_i}\ \sum_{t=1}^{n_j}\Psi (X_{jt}\ -\ X_{is})

mit

\Psi (u)\ = \begin{cases}
  1  & \text{wenn } u > 0 \\
  0  & \text{wenn } u <= 0
\end{cases}\ oder im Falle von Bindungen (gleichen Messwerten) \ \Psi (u)\ = \begin{cases}
  1  & \text{wenn } u > 0 \\
  1/2 & \text{wenn } u = 0 \\
  0  & \text{wenn } u < 0
\end{cases}

Die berechnete Prüfgröße J wird größer, wenn ein Trend zwischen den Gruppen vorhanden ist.

Unter allgemeinen Bedingungen weist die Prüfgröße J eine Normalverteilung auf. Für den Erwartungswert \mu _J und dessen Varianz \sigma _J gelten folgende Formeln:

\mu _J\ = \ \frac{N^2\ - \ \sum_{i=1}^{c}n_i^2}{4}\

und

\ \sigma _J\ = \ \sqrt{\frac{N^2(2N + 3)\ - \ \sum_{i=1}^{c}n_i^2(2n_i+3)}{72}}

Die daraus folgende Variable Z ist standardnormalverteilt, wenn die Gesamtzahl aller Stichprobenwerte (N) größer 12 ist:

Z\ = \ \frac{J\ - \ \mu _J}{\sigma _J}

Oder anders ausgedrückt: bei einem einseitigen Test auf 5% Niveau (Fehler 1. Art) ist der Test signifikant, wenn

J\ >\ \mu _J\ +\ 1,645\sigma _J

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Es lassen sich neben einem monotonen Trend auch Modelle bearbeiten, bei denen ein anfänglicher Aufwärtstrend an einem bestimmten Punkt in einen Abwärtstrend übergeht. Dieses ist dann die Verallgemeinerung des Jonkheere-Terpsta-Tests, der Umbrella-Test nach Mack und Wolfe.[1]

Literatur[Bearbeiten]

  1. H. B. Mack: K-sample rank tests for umbrella alternatives. In: J. Amer. Statist. Ass.. 76, 1981, S. 175-81.
  • A. R. Jonckheere: A distribution-free k-sample test against ordered alternatives. In: Biometrica. 41, 1954, S. 133-45.
  • A. R. Jonckheere: A test of significance for the relation between m rankings and k ranked categories. In: British Journal of Statistical Psychology. 7, 1954, S. 93-100.
  • T. J. Terpstra: The asymptotic normality and consistency of Kendall's test against trend, when ties are present in one ranking. In: Indagationes Mathematicae. 14, 1952, S. 327-33.
  • W.J. Conover: Practical Nonparametric Statistics, 3, John Wiley & Sons, Inc., New York 1999, ISBN 0-471-16068-7, S. 5.4.