Jones-Polynom

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Das Jones-Polynom ist eine der wichtigsten Invarianten von Knoten und Verschlingungen, die in der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Topologie, untersucht wird. Es ist ein Laurent-Polynom in \sqrt{t}.

Es wurde 1984 von Vaughan F. R. Jones entdeckt, der unter anderem dafür 1990 die Fields-Medaille erhielt.

Definition durch Kauffman-Klammer[Bearbeiten]

Sei L eine Verschlingung. Das Kauffman-Klammerpolynom \langle L \rangle ist ein zu einem Diagramm von L assoziiertes Laurent-Polynom in A. Das normierte Kauffman-Polynom wird dann definiert durch die Formel X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle , wobei w(L) die Verwringung von L bezeichnet. X(L) ist invariant unter Reidemeister-Bewegungen und definiert deshalb eine Invariante von Verschlingungen. Das Jones-Polynom V(L) erhält man, indem man  A = t^{-1/4} in X(L) substituiert.

Definition durch Zopfgruppendarstellungen[Bearbeiten]

Sei L eine Verschlingung. Nach einem Satz von Alexander ist L der Abschluss eines Zopfes mit n Komponenten. Eine Darstellung \rho der Zopfgruppe Bn in die Temperley–Lieb-Algebra TLn mit Koeffizienten in \mathbb Z [A, A^{-1}] und \delta = -A^2 - A^{-2} wird definiert, indem man den Erzeuger \sigma_i auf A\cdot e_i + A^{-1}\cdot 1 abbildet, wobei 1, e_1, \dots, e_{n-1} die Erzeuger der Temperley–Lieb-Algebra sind.

Sei \sigma der zu L assoziierte Zopf. Berechne \delta^{n-1} \operatorname{tr} \rho(\sigma), wobei \operatorname{tr} die Markov-Spur ist. Das gibt das Klammerpolynom \langle L \rangle, aus dem dann wie im vorhergehenden Abschnitt das Jones-Polynom berechnet werden kann.

Definition durch Skein-Relationen[Bearbeiten]

Man kann das Jones-Polynom (eindeutig) dadurch charakterisieren, dass es dem trivialen Knoten den Wert 1 zuordnet und die folgende Skein-Relation erfüllt:

 (t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0)  = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-}) \,,

wobei L_{+}, L_{-} und L_{0} orientierte Linkdiagramme sind, die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und außerhalb dieses Gebietes identisch sind.

Skein-Relationen

Definition durch Chern-Simons-Theorie[Bearbeiten]

Das Jones-Polynom kann mittels Chern-Simons-Theorie definiert werden.

Unterscheidbarkeit von Knoten mittels Jones-Polynom[Bearbeiten]

Es ist eine offene Frage, ob der Unknoten der einzige Knoten mit trivialem Jones-Polynom ist. Es gibt jedenfalls unterschiedliche Knoten mit demselben Jones-Polynom, zum Beispiel haben Mutationen eines Knotens dasselbe Jones-Polynom.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Vaughan F. R. Jones: A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. In: Hyman Bass, Meyer Jerison, Calvin C. Moore (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society (New Series). Vol. 12, Nr. 1, American Mathematical Society, Providence (Rhode Island) 1985, ISSN 0273-0979, S. 103–111, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15304-2 (PDF, abgerufen am 2. Dezember 2012).
  •  Louis H. Kauffman: State models and the Jones polynomial. In: Topology. Vol. 26, Nr. 3, Elsevier, Amsterdam 1987, ISSN 0040-9383, S. 395–407, doi:10.1016/0040-9383(87)90009-7 (PDF, abgerufen am 2. Dezember 2012).
  •  W. B. Raymond Lickorish: An introduction to knot theory (= Graduate Texts in Mathematics. 175). Springer, New York 1997, ISBN 0-387-98254-X.

Weblinks[Bearbeiten]

Edward Witten: Two Lectures on the Jones Polynomial and Khovanov Homology