Jordan-Algebra

In der Mathematik heißt eine kommutative Algebra A eine Jordan-Algebra, wenn für alle x,y aus A die sog. Jordan Identität $x(x^2y)= x^2(xy)$ erfüllt ist.

Eine alternative Definition ist $x^{-1}(xy) = x(x^{-1}y)$ (x,y aus A, x invertierbar).

D.h., A ist in der Regel nicht assoziativ, es gilt aber eine schwache Form des Assoziativgesetzes.

Benannt ist sie nach dem deutschen Physiker Pascual Jordan, der sie zur Axiomatisierung der Quantentheorie einsetzen wollte.

Unter einer nichtkommutativen Jordan-Algebra versteht man eine Algebra, die neben der Jordan Identität noch das Flexibilitätsgesetz erfüllt.

Spezielle und exzeptionelle Jordan-Algebren

Aus einer assoziativen Algebra $A$ von Charakteristik ungleich 2 lässt sich eine Jordan-Algebra $A^{+}$ konstruieren, indem man bei unveränderter Addition eine neue Multiplikation $\cdot_J$ definiert:

$x \ \cdot_J \ y = {xy+yx \over 2}.$

Jordan-Algebren, die isomorph zu so gebildeten sind, heißen spezielle Jordan-Algebren, die anderen exzeptionelle Jordan-Algebren.

Die exzeptionelle Jordan-Algebra M(3,8) (auch als $E_3$ bezeichnet) ist durch Matrizen des folgenden Typs

$\begin{pmatrix} a & X & Y \\ \bar{X} & b & Z \\ \bar{Y} & \bar{Z}& c \end{pmatrix}$ gegeben. Hierbei sind a,b,c reelle Zahlen und X,Y,Z Oktonionen, die Multiplikation ist wie oben gegeben, aber es handelt sich nicht um eine spezielle Jordan-Algebra, da die Multiplikation der Oktonionen nicht assoziativ ist.

Literatur

• Hel Braun, Max Koecher: Jordan-Algebren, Springer Berlin 1998 ISBN 3540035222
• Tonny A. Springer: Jordan Algebras and Algebraic Groups, Springer-Verlag Heidelberg 1998