Jordan-Chevalley-Zerlegung

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Die Jordan–Chevalley-Zerlegung (gelegentlich auch Dunford-Zerlegung) ist wichtig für das Studium von Lie-Algebren und algebraischen Gruppen. Benannt ist sie nach Marie Ennemond Camille Jordan und Claude Chevalley.

Unter der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus x \colon V \rightarrow V eines endlichdimensionalen Vektorraums V über einem algebraisch abgeschlossenen Körper versteht man die Summe x = x_s + x_n, worin x_s ein halbeinfacher (also diagonalisierbarer) und x_n ein nilpotenter Endomorphismus sind, die miteinander kommutieren, das heißt x_sx_n = x_nx_s.

Ist allgemeiner L eine halbeinfache Lie-Algebra (mit Lie-Klammer [\cdot, \cdot]) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 und x \in L, so bezeichnet man x = x_s + x_n als (additive abstrakte) Jordan-Chevalley-Zerlegung, falls gilt: Der Endomorphismus {\rm ad}(x_s) ist halbeinfach, der Endomorphismus {\rm ad}(x_n) ist nilpotent, und es gilt [x_s, x_n] = 0. Darin wird für jedes y \in L die Abbildung {\rm ad}(y) folgendermaßen definiert:

{\rm ad}(y): L \rightarrow L\ ,\ z \mapsto [y, z],

welches ein Endomorphismus von L ist.

Die Jordan-Chevalley-Zerlegung existiert in den oben angegebenen Fällen und ist eindeutig. Zudem stimmen beide Definitionen im Fall L = {\rm End}(V), versehen mit der Lie-Klammer [f,g] := fg-gf, überein.

Die multiplikative Zerlegung stellt einen invertierbaren Operator als Produkt seiner kommutierenden halbeinfachen und unipotenten Anteile dar.

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Literatur[Bearbeiten]

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