Junge-oder-Mädchen-Problem

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das Junge-oder-Mädchen-Problem, auch als Zwei-Kinder-Problem[1] oder Geschwisterproblem bekannt, ist eine Aufgabe mit Bezug zur Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Aufgabenstellung handelt von der Möglichkeit, bei Zwei-Kind-Familien aus der Kenntnis des Geschlechts eines der beiden Kinder eine bedingte Wahrscheinlichkeitsaussage über das Geschlecht des anderen Kinds machen zu können. Die ursprüngliche Formulierung des Problems wurde von Martin Gardner 1959 im Scientific American veröffentlicht und besteht aus zwei Fragen:

  • Hr. Müller hat zwei Kinder. Das ältere Kind ist ein Mädchen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Mädchen sind?
  • Hr. Schmidt hat zwei Kinder. Mindestens eines von ihnen ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind?

Gardner gab ursprünglich die Antworten 1/2 bzw. 1/3, musste aber später zugeben, dass die zweite Frage nicht eindeutig gestellt ist. Die Antwort kann auch 1/2 sein, abhängig davon, wie die Information über das Geschlecht des Jungen erhalten wurde.[2] [3]

Neuformulierung der Problemstellung[Bearbeiten]

Die Originalformulierung des Problems lässt offensichtlich keine eindeutige Lösung zu. Ausgehend von der Tatsache, dass man Information als eindeutige Antwort auf eine eindeutige Frage betrachten kann, können die Informationen aus den beiden obigen Aussagen über Hr. Müller und Hr. Schmidt auch in Form von Antworten auf Fragen formuliert werden. Diese unterschiedlichen Fragestellungen, hier zwecks Vereinheitlichung als Fragen an eine Mutter gestellt, unterstellen jeweils die idealisierte Annahme, dass es in der Gesamtheit aller Zwei-Kind-Familien von allen möglichen Geschlechterpaaren älteres Kind/jüngeres Kind exakt gleich viele gibt, also jeweils 25 Prozent Junge/Junge, Junge/Mädchen, Mädchen/Junge und Mädchen/Mädchen. Die Wahrscheinlichkeit für alle vier möglichen Konstellationen ist also gleich groß.

Erste Fragestellung[Bearbeiten]

Eine Mutter, die genau zwei Kinder hat, wird gefragt:

„Welches Geschlecht hat Ihr älteres Kind?“, und sie antwortet: „Es ist ein Mädchen.“
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das jüngere Kind ein Mädchen ist?

Die Antwort ist 1/2. Das Ergebnis lässt sich mit der folgenden Tabelle bestimmen. Die ersten beiden Spalten zeigen, welche Varianten bei zwei Kindern grundsätzlich möglich sind. Spalte 3 zeigt die Möglichkeiten, die übrig bleiben, wenn man weiß, dass das ältere Kind ein Mädchen ist – die Fälle 1 und 2 sind dann nicht möglich. Somit bleiben zwei gleich wahrscheinliche Möglichkeiten für das zweite Kind, von denen eine ein weiteres Mädchen ist.

1. Kind 2. Kind Lösung zu Frage 1:
Jüngeres Kind ist…
Lösung zu Frage 2:
Anderes Kind ist…
1 Junge Junge (geht nicht) (geht nicht)
2 Junge Mädchen (geht nicht) Junge
3 Mädchen Junge Junge Junge
4 Mädchen Mädchen Mädchen Mädchen

Zweite Fragestellung[Bearbeiten]

Eine Mutter, die genau zwei Kinder hat, wird gefragt:

„Haben Sie zwei Söhne?“ und sie antwortet: „Nein.“
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zwei Töchter hat?

Die Antwort ist 1/3. Das Ergebnis lässt sich mit der obigen Tabelle bestimmen. Spalte 4 zeigt die Möglichkeiten, wenn man davon ausgeht, dass mindestens ein Mädchen da sein muss – die Zeile 1 ist dann nicht möglich. Abzählen zeigt, dass eine von drei gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten auf ein weiteres Mädchen hinweist.

Dritte Fragestellung[Bearbeiten]

Eine Mutter, die genau zwei Kinder hat, wird gefragt:

Welches Geschlecht hat eines Ihrer Kinder?“ und sie antwortet: „Eines meiner Kinder ist ein Mädchen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das nicht genannte Kind ein Mädchen ist?

Die Lösung lässt sich mit Hilfe folgender Tabelle einfach ermitteln,

1. Kind 2. Kind Antwort der Mutter Anderes Kind ist…
1 Junge Junge Junge Junge
2 Junge Junge Junge Junge
3 Junge Mädchen Junge Mädchen
4 Junge Mädchen Mädchen Junge
5 Mädchen Junge Mädchen Junge
6 Mädchen Junge Junge Mädchen
7 Mädchen Mädchen Mädchen Mädchen
8 Mädchen Mädchen Mädchen Mädchen

Weil die Mutter jedes ihrer Kinder nennen kann, gibt es prinzipiell acht Möglichkeiten, die gleich wahrscheinlich sind, wenn wir unterstellen, dass die Mutter rein zufällig wählt (Diskrete Gleichverteilung). Weil die Mutter als Antwort eine Tochter genannt hat, beschränken sich die Möglichkeiten auf die Nummern 4, 5, 7 und 8. Sie bilden die Bedingung. Die Hälfte dieser Fälle, namentlich die Möglichkeiten 7 und 8, bildet das gefragte Ereignis, dass das andere Kind ebenfalls ein Mädchen ist. Also ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit 1/2.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Martin Gardner: The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions. Simon & Schuster, 1954, ISBN 978-0226282534..
  2. Maya Bar-Hillel and Ruma Falk: Some teasers concerning conditional probabilities. In: Cognition. 11, Nr. 2, 1982, S. 109–122. doi:10.1016/0010-0277(82)90021-X. PMID 7198956.
  3. Raymond S. Nickerson: Cognition and Chance: The Psychology of Probabilistic Reasoning. Psychology Press, May 2004, ISBN 0-8058-4899-1.