Kürzen

Kürzen ist in der Mathematik ein Verfahren zur Vereinfachung von Brüchen. Dabei werden Zähler und Nenner des gegebenen Bruchs dividiert durch einen gemeinsamen Faktor (ungleich 0). Der Wert des Bruchs bleibt beim Kürzen unverändert. Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns, also der Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben Zahl (ungleich 0).

Mathematische Formulierung

Allgemein: Sind $a$, $b$ und $c$ ganze Zahlen, wobei $b \ne 0$ und $c \ne 0$ vorausgesetzt wird, dann gilt

$\frac{a \cdot c}{b \cdot c} \; = \; \frac{a}{b}$

Liest man diese Gleichung von links nach rechts, dann wird der Bruch $(ac)/(bc)$ mit $c$ gekürzt, liest man sie von rechts nach links, dann wird der Bruch $a/b$ mit $c$ erweitert.

Zum Kürzen ist es hilfreich, Zähler und Nenner des Bruchs in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Gleiche Primfaktoren können dann einfach paarweise in Zähler und Nenner herausgestrichen werden. Bei größeren Zahlen ist es jedoch oft einfacher, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) mit dem euklidischen Algorithmus zu bestimmen, denn der ggT ist die größte Zahl, mit der man einen gegebenen Bruch kürzen kann.

Beispiele

$\frac{6}{8} \; = \; \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} \; = \;\frac{3}{4}$

$\frac{200}{8800} \; = \; \frac{1 \cdot 200}{44 \cdot 200} \; = \;\frac{1}{44}$

Die Beispiele zeigen, dass das Kürzen von Brüchen meist eine sehr sinnvolle Sache ist, weil sich dadurch erhebliche Vereinfachungen ergeben, was insbesondere das eventuelle Weiterrechnen mit den Brüchen deutlich erleichtert.

Verallgemeinerung

Geht man von den rationalen Zahlen weg und betrachtet andere Strukturen, dann erkennt man, dass die Möglichkeit, Brüche zu kürzen, eine direkte Konsequenz der Art und Weise ist, wie Brüche definiert werden. Man kann somit z. B. in beliebigen Quotientenkörpern Brüche kürzen. Lokalisiert man einen Ring R mit einer multiplikativen Teilmenge S, dann kann man einen Bruch aus R_S nur mit Elementen von S kürzen und erweitern.