Kan-Erweiterung

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In der mathematischen Kategorientheorie bezeichnet man Funktoren, die die universelle Approximation an die Lösung der Gleichung ?\circ F=X sind, als Kan-Erweiterungen. Die Konstruktion ist nach Daniel M. Kan benannt, der solche Erweiterungen 1960 als Limites und Kolimites konstruierte.

Definition[Bearbeiten]

Es gibt zwei duale Definitionen: Die eine Erweiterung wird linksseitig genannt, weil sie über eine universelle Eigenschaft definiert wird, in der die Kan-Erweiterung als Quelle auftritt, während die andere Erweiterung rechtsseitig genannt wird, weil sie Ziel einer universellen Transformation ist.

Linksseitige Kan-Erweiterung[Bearbeiten]

Seien \mathcal{A}, \mathcal{B} und \mathcal{C} Kategorien, L, X, F und M Funktoren und \sigma und \alpha natürliche Transformationen.

Die linksseitige Kan-Erweiterung eines Funktors X\colon \mathcal{A} \to \mathcal{C} entlang eines Funktors F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B} ist ein Paar (L\colon \mathcal{B} \to \mathcal{C}, \varepsilon\colon X \to L\circ F), das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes M\colon \mathcal{B}\to\mathcal{C} und jedes \alpha\colon X \to M\circ F gibt es genau ein \sigma\colon L \to M mit \sigma_F \circ \varepsilon = \alpha, wobei \sigma_F(A) = \sigma\left(F(A)\right).

Rechtsseitige Kan-Erweiterung[Bearbeiten]

Seien \mathcal{A}, \mathcal{B} und \mathcal{C} Kategorien, R, X, F und M Funktoren und \delta und \mu natürliche Transformationen.

Die rechtsseitige Kan-Erweiterung eines Funktors X\colon \mathcal{A} \to \mathcal{C} entlang eines Funktors F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B} ist ein Paar (R\colon \mathcal{B} \to \mathcal{C}, \eta\colon R\circ F\to X), das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes M\colon \mathcal{B}\to\mathcal{C} und jedes \mu\colon M\circ F\to X gibt es genau ein \delta\colon M \to R mit \eta \circ \sigma_F = \mu, wobei \delta_F(A) = \delta\left(F(A)\right).

Literatur[Bearbeiten]

  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Second Edition. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.