Karo (Mengenlehre)

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 \Diamond (Karo) ist ein "kombinatorisches" Prinzip in der Mengenlehre.

Definition[Bearbeiten]

Für jede unendliche Kardinalzahl \kappa ist \Diamond_\kappa eine Abkürzung für die folgenden Aussage:

  • es gibt eine Folge \langle A_\alpha: \alpha \in \kappa \rangle mit folgenden Eigenschaften:
  • für alle \alpha gilt  A_\alpha \subseteq \alpha
  • für alle  A \subseteq \kappa ist die Menge  \{\alpha \in \kappa : A \cap \alpha = A_\alpha\} ein stationäre Teilmenge von \kappa.

Oft spricht man vereinfachend davon, dass das Prinzip \Diamond_\kappa es ermöglicht, Teilmengen von \kappa zu "erraten". Während die Anzahl der Teilmengen von \kappa (also die Kardinalität der Potenzmenge von \kappa) zwar nach dem Satz von Cantor größer als \kappa ist, postuliert \Diamond_\kappa, dass es eine transfinite Folge der Länge \kappa gibt, die alle Teilmengen von \kappa „errät“ (genauer: stationär oft besser und besser approximiert).

Statt \Diamond_{\omega_1} schreibt man oft nur \Diamond.

Zusammenhang mit CH und GCH[Bearbeiten]

Die Aussage ◊ ist in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) weder beweisbar noch widerlegbar.

Man zeigt leicht, dass aus ◊ die Kontinuumshypothese CH folgt. Allgemeiner folgt aus \Diamond_{\kappa^+} die Gleichung 2^\kappa=\kappa^+. Aus CH kann man ◊ nicht folgern, aber aus 2^\kappa=\kappa^+ zusammen mit \kappa^\omega = \kappa kann man \Diamond_{\kappa^+} schließen. Aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese GCH folgt also \Diamond_{\kappa^+} für alle \kappa mit überabzählbarer Konfinalität.

Anwendungen[Bearbeiten]

◊ impliziert, dass die Suslin-Hypothese falsch ist; mit anderen Worten: dass es eine Suslin-Gerade gibt, also eine nicht-separable lineare Ordnung, in der dennoch jede Familie von disjunkten Intervallen höchstens abzählbar ist.