Kegelstumpf

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Kegelstumpf

Kegelstumpf ist in der Geometrie die Bezeichnung für einen speziellen Rotationskörper. Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man von einem geraden Kreiskegel parallel zur Grundfläche einen kleineren Kegel abschneidet.

Die größere der beiden parallelen Kreisflächen ist die Grundfläche, die kleinere die Deckfläche. Die dritte der begrenzenden Flächen wird als Mantelfläche bezeichnet. Unter der Höhe des Kegelstumpfs versteht man den Abstand von Grund- und Deckfläche.

Inhaltsverzeichnis

1 Formeln
- 1.1 Beweise

[Bearbeiten] Formeln

Mit $r$ werde der Radius der Deckfläche, mit $R$ der Radius der Grundfläche bezeichnet. $\varphi$ sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.

Formeln zum Kegelstumpf
Volumen	$V \, = \, \frac{h \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)$
Länge einer Mantellinie	$m \, = \, \sqrt{(R-r)^2 + h^2}$
Mantelfläche	$M \, = \, (R+r) \cdot \pi \cdot m$
Deckfläche	$A_1 \, = \, \pi \cdot r^2$
Grundfläche	$A_2 \, = \, \pi \cdot R^2$
Höhe des Kegelstumpfs	$h=\frac{R-r}{\tan\varphi}$

[Bearbeiten] Beweise

[Bearbeiten] Volumen

Für die Berechnung des Volumens des Kegelstumpfes werde die Höhe des abgeschnittenen kleinen Kegels mit $k$ bezeichnet. Das Volumen des Kegelstumpfs ergibt sich dann als Differenz zwischen dem Volumen des großen Kreiskegels (Radius $R$ und Höhe $h + k$ ) und dem Volumen des kleinen abgeschnittenen Kreiskegels (Radius $r$ und Höhe $k$ ). Mit Hilfe des Strahlensatzes (Vierstreckensatz) folgt, dass

$\frac{h+k}{R}=\frac{k}{r}$ .

Nennt man diesen Quotienten $λ$ , so gilt

$h + k=\lambda \cdot R$ und

$k = \lambda \cdot r.$

Das Volumen des großen Kegels ist

$V_R=\frac{R^2\cdot\pi \cdot(h+k)}{3}=\lambda \cdot R^3\cdot\frac{\pi}{3},$

das Volumen des kleinen Kegels ist

$V_r=\frac{r^2\cdot\pi \cdot k}{3}=\lambda \cdot r^3 \cdot \frac{\pi}{3},$

das Volumen des Kegelstumpfes ist die Differenz

$V=V_R-V_r=\lambda \left(R^3-r^3\right) \frac{\pi}{3}=\lambda (R-r) \left(R^2+R \cdot r+r^2\right) \frac{\pi}{3}=\frac{h \cdot \pi}{3} \left(R^2+R r+r^2\right).$

[Bearbeiten] Mantelfläche

Für die Berechnung der Mantelfläche des Kegelstumpfes werde die Mantellinie des abgeschnittenen kleinen Kegels mit $n$ bezeichnet. Laut Strahlensatz gilt

$\frac{R}{r}\, = \, \frac{n+m}{n}$ ,

also

$n=\frac{m \cdot r}{R - r}$ .

Die Mantelfläche berechnet sich nun aus der Differenz der Mantelfläche $M 1$ des großen Kegels (Radius $R$ und Mantellinie $m + n$ ) und der Mantelfläche $M 2$ des kleinen weggeschnittenen Kegels (Radius $r$ und Mantellinie $n$ ):