Kendalls Konkordanzkoeffizient

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Kendalls Konkordanzanalyse (nach Maurice George Kendall) ist ein nichtparametrisches statistisches Verfahren zur Quantifizierung der Übereinstimmung zwischen mehreren Beurteilern (Ratern). Damit stellt Kendalls Konkordanzkoeffizient W eine Alternative zu

dar.

Der Konkordanzkoeffizient W ähnelt dem Cronbachs Alpha zur Bestimmung der Reliabilität z. B. eines Testverfahrens. Er nimmt Werte zwischen 0 und 1 an.

Formel[Bearbeiten]

Wenn j=1,2,3,...m Beurteiler die i=1,2,...N Fälle (=Beobachtungsobjekte, Personen, Merkmale) in eine Rangreihe bringen, erhält jeder Fall von jedem Beurteiler einen Rangplatz R_{ij}; die Summe aller vergebenen Rangplätze für einen Fall i ist dann:

\!\,T_i=\sum_j R_{ij}.

Wenn ein Beurteiler j einem Fall keinen eindeutigen Rangplatz (1,2,3,...N) zuweist, sondern sich z. B. mehrere Fälle einen Rangplatz teilen müssen, spricht man dabei von "Rangbindung". Die Gesamtzahl der Fälle, die sich bei einem Beurteiler j jeweils einen konkreten Rangplatz k teilen, nennt man Rangbindungslänge t_{jk}.

Natürlich können auch bei einem Beurteiler mehrere Rangbindungen auftreten, wenn Fälle gleich eingeschätzt werden. Die Anzahl der Rangbindungen bei einem Beurteiler j lautet:

\!\,s_j=\sum_k t_{jk}.

Kendalls W wird daraus wie folgt berechnet:

W = \frac {12 \cdot \sum_{i=1}^N (T_i - \overline{T})^2} {m^2 (N^3-N) - m \cdot t}

wobei

\!\,\overline{T}=\frac 1N \sum_i T_i

und

t = \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{s_j} (t_{jk}^3 - t_{jk}).

W steht mit dem Friedman-Koeffizient \chi^2 (englischer Artikel: Friedman Test) sowie dem Rangkorrelationskoeffizient \rho von Spearman in direkter Beziehung:

\chi^2 = m \cdot (N-1) \cdot W und

\bar\rho = \frac {m \cdot (W-\frac{1}{m})} {(m-1)},

wobei \bar\rho den Mittelwert aller Rangkorrelationen zwischen den möglichen Kombinationen aus jeweils 2 Beurteilern \bar\rho = \begin{pmatrix} m \\ 2 \end{pmatrix}^{-1} \sum \sum \rho darstellt.

Literatur und Quellen[Bearbeiten]

  • Bortz, J., Lienert, G. A. & Boehnke, K. (1990): Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Kap. 9. Berlin: Springer.
  • M. G. Kendall, Babington Smith, B.: The Problem of m Rankings. In: The Annals of Mathematical Statistics. 10, Nr. 3, Sep 1939, S. 275-287.