Kettenring

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In der kommutativen Algebra wird ein Ring Kettenring oder ein katenärer Ring genannt, wenn nicht verfeinerbare Primidealketten zweier ineinanderliegenden Primideale immer dieselbe Länge haben. Katenäre Ringe haben einfache dimensionstheoretische Eigenschaften.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition[Bearbeiten]

Ist R ein Ring, so ist eine Primidealkette eine Folge von Primidealen (p_i \subset R):

p_0 \subsetneq  p_1 \dots \subsetneq p_n

Die Länge dieser Primidealkette ist n. Eine solche Primidealkette wird nicht mehr verfeinerbare Kette genannt, wenn es kein Primideal p_i \ne q \subset R gibt, sodass

p_0 \subsetneq \dots \subsetneq q \subsetneq \dots \subsetneq p_n

eine Primidealkette ist.

Ist R ein Ring, so wird R katenär oder auch ein Kettenring genannt, wenn für alle Primideale p \subsetneq q \subset R gilt, dass alle nicht verfeinerbaren Primidealketten, die mit p anfangen und mit q aufhören, dieselbe Länge haben.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Ist ein noetherscher Ring katenär, dann auch jeder Restklassenring und jede Lokalisierung.
  • Katenär ist eine lokale Eigenschaft: Ein noetherscher Ring R ist genau dann katenär, wenn für jedes maximale Ideal m \subset R der Ring R_m katenär ist.
  • Wenn R noethersch, katenär und nullteilerfrei ist und außerdem alle maximalen Ideale von R dieselbe Höhe haben (z. B. K[X_1, \dots , X_n], s. u.), dann hat auch jeder Restklassenring A nach einem Primideal von R diese Eigenschaft. Für jedes Primideal p \subset A gilt dann:
\mathrm{ht}(p) + \mathrm{dim}(A/p) = \mathrm{dim} A.

Beispiele[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]