Killing-Form

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Die Killing-Form spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren. Sie ist nach Wilhelm Killing benannt.

Definition[Bearbeiten]

Sei \mathfrak g eine Lie-Algebra über dem Körper k und ad:\mathfrak g\rightarrow \mathfrak{gl}(\mathfrak g) ihre adjungierte Darstellung.

Die Killing-Form ist die durch

B(X,Y):=Tr(ad(X)\circ ad(Y))

für X,Y\in\mathfrak g definierte symmetrische Bilinearform

B:\mathfrak g\times\mathfrak g\rightarrow k.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • B ist eine symmetrische Bilinearform.
  • B ist assoziativ, das heißt es gilt B([X,Y],Z])=B(X,[Y,Z]) für alle X,Y,Z\in\mathfrak g.
  • Für alle Z\in\mathfrak g ist ad(Z) schiefsymmetrisch bzgl. B, das heißt für alle X,Y\in\mathfrak g gilt
B(ad(Z)X,Y)=-B(X,ad(Z)Y).
  • Die Killing-Form ist nicht-ausgeartet genau dann, wenn die Lie-Algebra \mathfrak g halb-einfach ist.
  • Falls \mathfrak g die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe G ist, dann ist B Ad-invariant, d.h. für alle g\in G,X,Y\in\mathfrak g gilt
B(Ad(g)X,Ad(g)Y)=B(X,Y).

Beispiele[Bearbeiten]

Die Killing-Form nilpotenter Lie-Algebren ist identisch Null.

Für viele klassische Lie-Algebren lässt sich die Killing-Form explizit angeben:

g B(X, Y)
gl(n, R) 2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y)
sl(n, R) 2n tr(XY)
su(n) 2n tr(XY)
so(n, R) (n−2) tr(XY)
so(n) (n−2) tr(XY)
sp(n, R) (2n+2) tr(XY)
sp(n, C) (2n+2) tr(XY)

Riemannsche Metrik auf Symmetrischen Räumen von nichtkompaktem Typ[Bearbeiten]

Ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ist eine Mannigfaltigkeit der Form

M=G/K

mit einer halbeinfachen Lie-Gruppe G und einer maximal kompakten Untergruppe K.

Zu einem symmetrischen Raum hat man eine Cartan-Zerlegung

\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak p

und man kann den Tangentialraum T_{\left[e\right]}G/K im neutralen Element mit \mathfrak p identifizieren.

Die Killing-Form ist negativ definit auf \mathfrak k und positiv definit auf p. Insbesondere definiert sie ein Ad(G)-invariantes Skalarprodukt auf \mathfrak p und damit eine links-invariante Riemannsche Metrik auf M=G/K. Bis auf Multiplikation mit Skalaren ist dies die einzige G-invariante Metrik auf M.

Die Differentialgeometrie symmetrischer Räume beschäftigt sich mit den Eigenschaften dieser Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren[Bearbeiten]

Die Killing-Form spielt eine Schlüsselrolle in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren über Körpern der Charakteristik 0.

Literatur[Bearbeiten]

Humphreys, James E.: Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.