Klassenzahl

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Sei K ein algebraischer Zahlkörper. Dann ist seine Klassenzahl h_K die Ordnung der (stets endlichen) Idealklassengruppe von K.

Eine Primzahl p heißt regulär, wenn p \nmid h_{\mathbb{Q}(\zeta_p)}, wobei \zeta_p eine p-te Einheitswurzel ist.

Zahlentheoretische Bedeutung[Bearbeiten]

Möchte man eine Gleichung F(x)=1 über einem Zahlkörper lösen, so ist eine mögliche Strategie, die Gleichung über der Idealgruppe I_K und der Idealklassengruppe  Cl_K zu lösen. Ist 1 die einzige Lösung über der Idealklassengruppe, so ist jedes Ideal  \mathfrak{a} mit  F(\mathfrak{a})=1 ein Hauptideal:  \mathfrak{a}=(\alpha) . Diese Zahl  \alpha löst die ursprüngliche Gleichung modulo Einheiten.

Um die Gleichung über  Cl_K zu lösen, genügt es, die Struktur von  Cl_K als abelsche Gruppe zu kennen. In den meisten Fällen genügt sogar die Kenntnis der Primfaktorzerlegung von  h_K . (z. B.  x^n = 1 \Rightarrow x=1 für  (n,h_K)=1 , oder:  x^n=1 falls  h_K | n .)

Aus diesem Grund ist die Bestimmung der Idealklassenzahl eine der zentralen Aufgaben der Zahlentheorie.

Beispiel (Spezialfall von Fermats letztem Satz)[Bearbeiten]

Sei p eine ungerade reguläre Primzahl. Dann hat die Gleichung x^p+y^p=z^p,\quad (xyz,p)=1 keine ganzzahligen Lösungen.

Beweisskizze: Die Gleichung lässt sich umschreiben zu \prod_{i=0}^{p-1} (x+\zeta_p^i y) = z^p . Geht man jetzt zu den Idealen von  \mathbb{Q}(\zeta_p) über, erhält man, da die Ideale auf der linken Seite teilerfremd sind, die Gleichungen x+ \zeta_p^i y = \mathfrak{a}^p. Da die Abbildung x \mapsto x^p auf der Idealklassengruppe von  \mathbb{Q}(\zeta_p) injektiv ist, erhalten wird daraus die Gleichungen x+ \zeta_p^i y = (\mathrm{Einheit}) \cdot \alpha^p, die man zum Widerspruch führen kann.

Eigenschaften[Bearbeiten]

 \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{\mid D_K \mid}}
Dabei ist w_K die Anzahl der Einheitswurzeln in K, D_K die Diskriminante der Erweiterung K/\mathbb{Q} und \operatorname{Reg}_K der Regulator von K.
Die Klassenzahlformel eignet sich zur praktischen Berechnung der Klassenzahl.
  • Sei K|k eine \mathbb{Z}_p-Erweiterung, d.h. k=k_0 \subset k_1 \subset \cdots \subset K und G(k_n|k)\cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}. Sei  p^{e_n} der p-Anteil der Klassenzahl h_{k_n}. Dann gibt es von n unabhängige natürliche Zahlen \lambda, \mu, \nu, so dass e_n = \lambda n + \mu p^n + \nu für hinreichend großes n. (Siehe: Iwasawa-Theorie)
  • Vermutung von Vandiver (nicht allgemein bewiesen, für p< 12\cdot 10^6 verifiziert):
Sei K^+:= \mathbb{Q}(\zeta_p)^+ = \mathbb{Q}(\zeta_p) \cap \mathbb{R}. Dann ist p kein Teiler von h_{K^+}.
  • Für K=\mathbb{Q}(\zeta_p) gilt: p|h_K \Leftrightarrow p|B_j für ein j\in \{2,4,\ldots,p-3\}
  • Sei n >0. Dann gilt:  p|h_{\mathbb{Q}(\zeta_p)} \Leftrightarrow p|h_{\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})}

siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]