Klassifizierender Raum

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Dieser Artikel behandelt den klassifizierenden Raum einer topologischen Gruppe. Verallgemeinerungen dieses Konzepts sind der Klassifizierender Raum einer Familie von Untergruppen und der Klassifizierender Raum einer Kategorie.

In der Mathematik werden mit Hilfe des klassifizierenden Raumes und des universellen Bündels einer topologischen Gruppe G die Prinzipalbündel mit G als Strukturgruppe klassifiziert. Der klassifizierende Raum und das universelle Bündel sind durch eine universelle Eigenschaft charakterisiert, eine explizite Konstruktion geht auf John Milnor zurück. Bündel und ihre Klassifikation spielen eine wichtige Rolle in Mathematik und Theoretischer Physik.

Universelles Bündel[Bearbeiten]

Ein G-Prinzipalbündel \xi\colon EG\to BG heißt universelles Bündel, wenn man alle (numerierbaren) G-Prinzipalbündel durch Zurückziehen des universellen Bündels gewinnen kann; formal: wenn es die folgende universelle Eigenschaft für numerierbare G-Prinzipalbündel[1] hat:

  • Für jedes numerierbare G-Prinzipalbündel \pi\colon E\to X gibt es eine stetige Abbildung f\colon X\to BG so dass die Bündel f^*\xi und \pi isomorph sind.
  • Für zwei Abbildungen f,g\colon X\to BG sind die Bündel f^*\xi, g^*\xi genau dann isomorph, wenn  f,g homotop sind.

Man hat also eine Bijektion

\left\{G-\mbox{Prinzipalbündel}\ \mbox{über}\ X\right\}=\left[X,BG\right],

wobei \left[X,BG\right] die Homotopieklassen von Abbildungen X\to BG bezeichnet.

Die Basis eines universellen G-Bündels heißt klassifizierender Raum BG der topologischen Gruppe G. Mittels allgemeinen Unsinns kann man leicht zeigen, dass BG (wenn ein universelles Bündel existiert) bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig bestimmt ist. Die folgende, auf Milnor zurückgehende Konstruktion beweist auch die Existenz des klassifizierenden Raumes.

Milnor-Konstruktion[Bearbeiten]

Der unendliche Verbund EG=G*G*\ldots*G*\ldots abzählbar vieler Kopien der topologischen Gruppe G wird als Milnor-Raum bezeichnet. Die Elemente sind von der Form \sum_it_ig_i mit g_i\in G,t_i\in\left[0,1\right],\sum_it_i=1 und nur endlich viele t_i\not=0. (Man beachte 0g_i=0g_i^\prime auch für g_i\not=g_i^\prime.)

Die Gruppe G wirkt auf dem Milnor-Raum EG durch (\sum_it_ig_i)g=\sum_it_i(g_ig). Der Quotient BG:=EG/G ist der klassifizierende Raum der Gruppe G, das Prinzipalbündel

\xi\colon EG\to BG

ist das universelle Bündel.

Für verschiedene Lie-Gruppen, zum Beispiel O(n) und U(n) gibt es einfachere Realisierungen des klassifizierenden Raumes durch Graßmann-Mannigfaltigkeiten, siehe unten.

Allgemein gibt jede freie Wirkung von G auf einem zusammenziehbaren Raum E einen Quotienten B=E/G, der ein klassifizierender Raum BG (und damit insbesondere zu obiger Konstruktion homotopie-äquivalent) ist. Die Quotientenabbildung E\to B ist dann ein universelles G-Prinzipalbündel.

Topologie des klassifizierenden Raumes[Bearbeiten]

EG ist zusammenziehbar. Für die Homotopiegruppen von BG gilt

\pi_i(BG)=\pi_{i-1}(G).

Insbesondere gilt für mit der diskreten Topologie versehene Gruppen \Gamma:

\pi_1(B\Gamma)=\Gamma
\pi_i(B\Gamma)=0 für i\not=1.

Der klassifizierende Raum einer diskreten Gruppe ist also ein Eilenberg-MacLane-Raum.

Wenn K\to G eine Homotopieäquivalenz ist, dann ist auch BK\to BG eine Homotopieäquivalenz. Insbesondere ist BSO(n) homotopieäquivalent zu BGL(n,\R).

Beispiele klassifizierender Räume[Bearbeiten]

Die folgende Liste gibt Beispiele klassifizierender Räume BG mit zugehörigem Totalraum (des universellen Bündels) EG. Man beachte, dass für topologische Gruppen i.a. BG nicht mit BG_\delta (dem klassifizierenden Raum für dieselbe Gruppe mit der diskreten Topologie) übereinstimmt.

  • B\mathbb{Z}_n=L_n^\infty mit Totalraum S^\infty (Insbesondere B\mathbb{Z}_2=\mathbb{R}P^\infty)
  • B\mathbb{Z}=S^1 mit Totalraum \mathbb{R}
  • BS^1=\mathbb{C}P^\infty mit Totalraum S^\infty
  • B(F_2)=S^1\vee S^1 mit Totalraum \mathcal{T} (unendlicher Baum vom Grad 4)
  • BO(n)=BGL_n(\mathbb{R})=G_n(\mathbb{R}^\infty) mit Totalraum V_n(\mathbb{R}^\infty)
  • B\mathbb{R}=\lbrace pt.\rbrace mit Totalraum \mathbb{R}
  • B\langle a_1,b_1,\ldots,a_g,b_g\;|\;\prod_{i=1}^g[a_i,b_i]\rangle=S_g mit Totalraum \mathcal{H} (hyperbolische Ebene)
  • B(G_1\times G_2)=BG_1\times BG_2

Vektorbündel[Bearbeiten]

Zu einem reellen Vektorbündel vom Rang r hat man das Rahmenbündel als GL(r,\R)-Bündel über derselben Basis. Insbesondere ist BGL(r,\R) (und wegen der Homotopieäquivalenz BO(r)\simeq BGL(r,\R) auch BSO(r)) auch ein klassifizierender Raum für reelle Vektorbündel vom Rang r. Entsprechend ist BU(r)\simeq BGL(r,\C) ein klassifizierender Raum für komplexe Vektorbündel vom Rang r.

Die Graßmann-Mannigfaltigkeiten Gr_{\mathbb K}(r,\infty) für {\mathbb K}=\R bzw. {\mathbb K}=\C sind explizite Realisierungen der klassifizierenden Räume BO(r) bzw. BU(r).

Analog können orientierte Vektorbündel vom Rang r durch das universelle Bündel über BSO(r)=Gr^+(r,\infty), der Graßmann-Mannigfaltigkeit der orientierten Untervektorräume klassifiziert werden.

Charakteristische Klassen[Bearbeiten]

Kohomologieklassen eines klassifizierenden Raumes dienen zur Definition charakteristischer Klassen.

Zum Beispiel erhält man charakteristische Klassen orientierter Vektorbündel vom Rang n aus der Kohomologie von BSO(n). Für einen Körper F mit char(F)\not=2 gilt

H^*(BSO(2n),F)=F\left[e,p_1,\ldots,p_n\right]/(e^2-p_n)
H^*(BSO(2n+1,F)=F\left[p_1,\ldots,p_n\right],

wobei e die Euler-Klasse und p_i die Pontrjagin-Klassen bezeichnet. Für char(F)=2 ist

H^*(BSO(n),F)=F\left[w_2,\ldots,w_n\right],

wobei w_i die Stiefel-Whitney-Klassen bezeichnet.

Literatur[Bearbeiten]

  • Milnor, John: Construction of universal bundles. I. Ann. of Math. (2) 63 (1956), 272–284. pdf II. Ann. of Math. (2) 63 (1956), 430–436. pdf
  • Husemoller, Dale: Fibre bundles. McGraw-Hill Book Co., New York-London-Sydney 1966
  • tom Dieck, Tammo: Topologie. de Gruyter Lehrbuch. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1991. ISBN 3-11-013187-0; 3-11-012463-7

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eine offene Überdeckung (U_i)_{i\in I} eines topologischen Raumes heißt numerierbar, wenn es eine lokal endliche Zerlegung der Eins mit supp(u_i)\subset U_i gibt. Ein Prinzipalbündel heißt numerierbar, wenn es eine numerable Überdeckung gibt, so dass die Einschränkungen des Bündels auf die U_i trivialisierbar sind. Vgl. Husemoller, op.cit., Section I.4.9.