Kleeblattschlinge

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Kleeblattschlinge

Die Kleeblattschlinge oder der Kleeblattknoten ist einer der einfachsten Knoten und spielt eine zentrale Rolle in der Knotentheorie. Der Knoten hat seinen Namen wegen seiner Ähnlichkeit zu Kleeblättern.

Parametrisierung und Invarianten[Bearbeiten]

Eine einfache Parameterdarstellung der Kleeblattschlinge ist:

x = (2+\cos 3t)\cos 2t, \qquad y=(2+\cos 3t )\sin 2t, \qquad z=\sin 3t.

Die so definierte Kurve liegt überschneidungsfrei auf dem Torus, der in Zylinderkoordinaten durch (r-2)^2+z^2 = 1 definiert ist. Damit ist die Kleeblattschlinge das einfachste Beispiel eines Torusknotens.[1]

Das Alexander-Polynom der Kleeblattschlinge ist

\Delta(t) = t - 1 + t^{-1},

und ihr Jones-Polynom ist

V(q) = q^{-1} + q^{-3} - q^{-4} oder
V(q) = q + q^3 - q^4,

je nachdem, ob sie rechts- oder linkshändig ist.

Die Knotengruppe hat die Präsentierung

\langle x,y \mid x^2=y^3 \rangle \,

und ist damit isomorph zur Modulgruppe SL(2,\Z).

Symmetrie[Bearbeiten]

Die Kleeblattschlinge ist chiral, d. h. sie ist nicht in ihr Spiegelbild deformierbar. Deshalb existieren zwei nicht ineinander überführbare Formen von Kleeblattschlingen. Diese werden auch rechtshändige und linkshändige Kleeblattschlinge genannt.[2]

In der Kunst[Bearbeiten]

Als einfacher Knoten kommt die Kleeblattschlinge häufig in der bildenden Kunst und der Ikonographie vor. So sind zum Beispiel die Valknut und die Triqueta Kleeblattschlingen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Max Dehn: Die beiden Kleeblattschlingen, Math. Ann. 102 (1914), 402–413 online

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. [1] (PDF; 2,2 MB)Knotentheorie. Abgerufen am 3. Mai 2012.
  2. [2]www.cut-the-knot.org über Achtknoten Aufgerufen am 3. Mai 2012.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Trefoil knots – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien