Kodimension

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Die Kodimension bezeichnet in verschiedenen Bereichen der Mathematik das Komplement zur Dimension. Also ist im n-dimensionalen Raum die Summe aus Dimension und Kodimension eines Objektes gleich n. Im dreidimensionalen Raum hat damit eine Fläche (Dimension: 2) die Kodimension 1, eine Linie (Dimension: 1) die Kodimension 2 und ein Punkt (Dimension: 0) die Kodimension 3.

Definition[Bearbeiten]

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper und U\subseteq V ein Untervektorraum. Dann ist die Kodimension von U in V, geschrieben

\mathrm{codim}(U,V)

gleich der Dimension des Faktorraumes V/U.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Es gilt stets
\dim U+\mathrm{codim}(U,V)=\dim V.
Ist V endlichdimensional, so ist also
\mathrm{codim}(U,V)=\dim V-\dim U.
\mathrm{codim}(U,V)=\dim W.
  • Sind U_1,U_2\subseteq V zwei Unterräume, so gilt stets
\mathrm{codim}(U_1\cap U_2,V)\leq\mathrm{codim}(U_1,V)+\mathrm{codim}(U_2,V).
  • Sind U,W\subseteq V Unterräume, so gilt
\mathrm{codim}(U\cap W,W)=\mathrm{codim}(U,U+W)\leq\mathrm{codim}(U,V).

Literatur[Bearbeiten]