Kodimension

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Die Kodimension bezeichnet in verschiedenen Bereichen der Mathematik das Komplement zur Dimension. Also ist im n-dimensionalen Raum die Summe aus Dimension und Kodimension eines Objektes gleich n. Im dreidimensionalen Raum hat damit eine Fläche (Dimension: 2) die Kodimension 1, eine Linie (Dimension: 1) die Kodimension 2 und ein Punkt (Dimension: 0) die Kodimension 3.

Definition[Bearbeiten]

Ist V ein Vektorraum über einem beliebigen Körper und ist U ein Untervektorraum von V, dann wird die Kodimension von U in V durch

\mathrm{codim}(U,V) = \dim ( U / V ),

also als die Dimension des Faktorraums V/U, definiert.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Es gilt stets
\dim U+\mathrm{codim}(U,V)=\dim V.
Ist V endlichdimensional, so ist also
\mathrm{codim}(U,V)=\dim V-\dim U.
\mathrm{codim}(U,V)=\dim W.
  • Sind U_1,U_2\subseteq V zwei Unterräume, so gilt stets
\mathrm{codim}(U_1\cap U_2,V)\leq\mathrm{codim}(U_1,V)+\mathrm{codim}(U_2,V).
  • Sind U,W\subseteq V Unterräume, so gilt
\mathrm{codim}(U\cap W,W)=\mathrm{codim}(U,U+W)\leq\mathrm{codim}(U,V).

Literatur[Bearbeiten]