Kodimension

Die Kodimension bezeichnet in verschiedenen Bereichen der Mathematik das Komplement zur Dimension: Beispielsweise ist im dreidimensionalen Raum die Summe aus Dimension und Kodimension eines Objektes gleich 3.

Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper und $U\subseteq V$ ein Unterraum. Dann ist die Kodimension von $U$ in $V$, geschrieben

$\mathrm{codim}(U,V)$

gleich der Dimension des Faktorraumes $V/U$.

Eigenschaften

• Es gilt stets

$\dim U+\mathrm{codim}(U,V)=\dim V.$

Ist $V$ endlichdimensional, so ist also

$\mathrm{codim}(U,V)=\dim V-\dim U$.

• Ist $W$ ein Komplement von $U$ in $V$, so ist

$\mathrm{codim}(U,V)=\dim W.$

• Sind $U_1,U_2\subseteq V$ zwei Unterräume, so gilt stets

$\mathrm{codim}(U_1\cap U_2,V)\leq\mathrm{codim}(U_1,V)+\mathrm{codim}(U_2,V).$

• Sind $U,W\subseteq V$ Unterräume, so gilt

$\mathrm{codim}(U\cap W,W)=\mathrm{codim}(U,U+W)\leq\mathrm{codim}(U,V).$

Literatur

• V. E. Govorov & A. F. Kharshiladze: Codimension. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).