Koerzitive Funktion

In der Mathematik wird eine reellwertige Funktion als koerzitiv (oder koerziv) bezeichnet, falls die Funktionswerte gegen unendlich streben, wenn die Eingabewerte gegen unendlich streben.

Definition

Sei $\left(X, \left\|.\right\|\right)$ ein normierter Raum und $f:X \rightarrow \mathbb{R}$. Die Funktion $f$ heißt koerzitiv, falls für alle Folgen $\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset X$ mit $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left\|x_n\right\| = \infty$ gilt:

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = \infty.$

Motivation

Im Allgemeinen nehmen stetige Funktionen auf nicht-kompakten Mengen kein Minimum oder Maximum an, z. B. realisiert $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^3$ das Maximum und das Minimum nicht. Diese Funktion ist nach unten und nach oben unbeschränkt und nicht koerzitiv. $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^2$ ist hingegen koerzitiv und nimmt das Minimum ($0 = g(0)$) an.

Folgender Satz macht klar, unter welchen Bedingungen eine koerzitive Funktion ihr Minimum tatsächlich annimmt:

Sei $X$ ein reflexiver Banachraum und $f:X \rightarrow \mathbb{R}$ erfülle wenigstens eine der folgenden Bedingungen:

• $f$ ist schwach halbstetig von unten und koerzitiv
• $f$ ist stetig, konvex und koerzitiv

Dann nimmt $f$ das Minimum an.

Erweiterung auf Sesquilinearformen

Eine komplexwertige Sesquilinearform $B: X \times X \rightarrow \mathbb{C}$ wird als koerzitiv bezeichnet, falls die Funktion $x \mapsto B(x,x)$ reellwertig und koerzitiv ist. Diese Eigenschaft findet z. B. im Lemma von Lax-Milgram Anwendung.

Der Begriff darf nicht mit der Koerzitivfeldstärke verwechselt werden.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7