Koerzitive Funktion

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In der Mathematik wird eine reellwertige Funktion als koerzitiv (oder koerziv) bezeichnet, falls die Funktionswerte gegen unendlich streben, wenn die Eingabewerte gegen unendlich streben.

Definition[Bearbeiten]

Sei \left(X, \left\|.\right\|\right) ein normierter Raum und f:X \rightarrow \mathbb{R}. Die Funktion f heißt koerzitiv, falls für alle Folgen \left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset X mit \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left\|x_n\right\| = \infty gilt:

\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = \infty.

Motivation[Bearbeiten]

Im Allgemeinen nehmen stetige Funktionen auf nicht-kompakten Mengen kein Minimum oder Maximum an, z. B. realisiert f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^3 das Maximum und das Minimum nicht. Diese Funktion ist nach unten und nach oben unbeschränkt und nicht koerzitiv. g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^2 ist hingegen koerzitiv und nimmt das Minimum (0 = g(0)) an.

Folgender Satz macht klar, unter welchen Bedingungen eine koerzitive Funktion ihr Minimum tatsächlich annimmt:

Sei X ein reflexiver Banachraum und f:X \rightarrow \mathbb{R} erfülle wenigstens eine der folgenden Bedingungen:

  • f ist schwach halbstetig von unten und koerzitiv
  • f ist stetig, konvex und koerzitiv

Dann nimmt f das Minimum an.

Erweiterung auf Sesquilinearformen[Bearbeiten]

Eine komplexwertige Sesquilinearform B: X \times X \rightarrow \mathbb{C} wird als koerzitiv bezeichnet, falls die Funktion x \mapsto B(x,x) reellwertig und koerzitiv ist. Diese Eigenschaft findet z. B. im Lemma von Lax-Milgram Anwendung.

Der Begriff darf nicht mit der Koerzitivfeldstärke verwechselt werden.

Literatur[Bearbeiten]