Kohärente Garbe

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In den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und komplexen Analysis sind kohärente Garben das Analogon endlich erzeugter Moduln über noetherschen Ringen.

Definition[Bearbeiten]

Es sei X ein geringter Raum, d.h. ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe \mathcal O_X von Ringen. Dann heißt eine \mathcal O_X-Modulgarbe \mathcal M kohärent, wenn

  1. \mathcal M endlich erzeugt ist, d.h. jeder Punkt x von X hat eine offene Umgebung U, auf der eine Surjektion \mathcal O_U^n\to\mathcal M_{|U} existiert, und
  2. für jede offene Teilmenge U von X und jeden Morphismus \mathcal O_U^n\to\mathcal M_{|U} ist der Kern endlich erzeugt

Eigenschaften[Bearbeiten]

0\to\mathcal M'\to\mathcal M\to\mathcal M''\to0
eine kurze exakte Folge von Modulgarben, und sind zwei der drei Garben kohärent, so ist es auch die dritte.
  • Der Träger einer kohärenter Garbe ist abgeschlossen. (Dies gilt allgemeiner für beliebige endlich erzeugte Modulgarben.)

Kohärente Garben in der algebraischen Geometrie[Bearbeiten]

Kohärente Garben in der komplexen Analysis[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]