Kolmogorow-Smirnow-Test

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Der Kolmogorow-Smirnow-Test (KS-Test) (nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow und Nikolai Wassiljewitsch Smirnow) ist ein statistischer Test auf Übereinstimmung zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Mit seiner Hilfe kann anhand von Zufallsstichproben geprüft werden, ob

  • zwei Zufallsvariablen die gleiche Verteilung besitzen oder
  • eine Zufallsvariable einer zuvor angenommenen Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt.

Im Rahmen des letzteren (Einstichproben-)Anwendungsproblems spricht man auch vom Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstest (KSA-Test).

Konzeption[Bearbeiten]

Die Konzeption soll anhand des Anpassungstests erläutert werden, wobei der Vergleich zweier Merkmale analog zu verstehen ist. Man betrachtet ein statistisches Merkmal X, dessen Verteilung in der Grundgesamtheit unbekannt ist. Die zweiseitig formulierten Hypothesen lauten dann:

Nullhypothese :

\!\,H_0: F_X(x) = F_0(x)

(Die Zufallsvariable X besitzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung F0.)

Alternativhypothese :

H_1: F_X(x) \neq F_0(x)

(Die Zufallsvariable X besitzt eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung als F0.)

Der Kolmogorow-Smirnow-Test vergleicht die empirische Verteilungsfunktion F_n mit F_0, mittels der Teststatistik

d_n=\|F_n-F_0\|=\sup_x|F_n(x)-F_0(x)|,

wobei sup das Supremum bezeichnet.

Nach dem Gliwenko-Cantelli-Satz strebt die empirische Verteilung gleichmäßig gegen die Verteilungsfunktion von X (also unter H0 gegen F0). Unter H1 sollte man also größere Werte bekommen als unter H0. Die Teststatistik ist unabhängig von der hypothetischen Verteilung F0. Ist der Wert der Teststatistik größer als der entsprechende tabellierte kritische Wert, so wird die Nullhypothese verworfen.

Vorgehensweise beim Einstichprobenproblem (Anpassungstest)[Bearbeiten]

Von einer reellen Zufallsvariablen X liegen n Beobachtungswerte x_i (i=1,\dotsc,n) vor, wobei angenommen werde, dass diese bereits aufsteigend sortiert sind: x_1 \leq x_2 \leq \dotsb \leq x_n. Von diesen Beobachtungen wird die relative Summenfunktion (Summenhäufigkeit, empirische Verteilungsfunktion) S(x_i) ermittelt. Diese empirische Verteilung wird nun mit der entsprechenden hypothetischen Verteilung der Grundgesamtheit verglichen: Es wird der Wert der Wahrscheinlichkeitsverteilung an der Stelle xi bestimmt: F0(xi). Wenn X tatsächlich dieser Verteilung gehorcht, müssten die beobachtete Häufigkeit S(xi) und die erwartete Häufigkeit F0(xi) in etwa gleich sein.

Falls F_0 stetig ist, kann die Teststatistik auf folgende Weise berechnet werden: Es werden für jedes i =  1,\dotsc,n die absoluten Differenzen

 d_{oi} = |S(x_i)-F_0(x_i)|~

und

 d_{ui} = |S(x_{i-1})-F_0(x_i)|~

berechnet, wobei S(x_0):=0 gesetzt wird. Es wird sodann die absolut größte Differenz d_{\max} aus allen Differenzen d_{oi}, d_{ui} ermittelt. Wenn d_{\max} einen kritischen Wert d_{\alpha} übersteigt, wird die Hypothese bei einem Signifikanzniveau \alpha abgelehnt.

Bis n=40 liegen die kritischen Werte tabelliert vor [1]. Für größere n werden sie näherungsweise mit Hilfe einer einfachen Formel bestimmt: d_\alpha=\frac{\sqrt{\ln\left(\frac{2}{\alpha}\right)}}{\sqrt{2 n}}

Hier die Konfidenz-Intervalle bei d_{\max} (für n>40):

Signifikanzniveau α dmax
20 % 1,07/√n
10 % 1,22/√n
5 % 1.36/√n
2 % 1,52/√n
1 % 1,63/√n
0,01 % 2,23/√n

Vorgehensweise beim Zweistichprobenproblem[Bearbeiten]

Liegt nun zusätzlich zur obigen Zufallsvariablen X eine entsprechende Zufallsvariable Y vor (mit m geordneten Werten y_i), so kann durch den Zweistichprobentest überprüft werden, ob X und Y derselben Verteilungsfunktion folgen. Von beiden Beobachtungen werden die relativen Summenfunktionen S_X(x_i) bzw. S_Y(y_i) ermittelt. Diese werden nun analog zum Einstichprobentest anhand ihrer absoluten Differenzen verglichen:

 d(z) = |S_X(z)-S_Y(z)|~

und

 d_{max} = \sup_z d(z)~ .


Die Nullhypothese wird bei einem Signifikanzniveau \alpha abgelehnt, falls d_{max} den kritischen Wert d_{krit}(\alpha,n,m) überschreitet. Für kleine Werte von n und m liegen die kritischen Werte tabelliert vor [2] [3]. Für große Werte von n und m wird die Nullhypothese abgelehnt, falls

\sqrt{\frac{n m}{n + m}}d_{max}>K_\alpha ,

wobei K_\alpha für große n und m näherungsweise als K_\alpha=\sqrt{\frac{\ln\left(\frac{2}{\alpha}\right)}{2}} berechnet werden kann.

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten]

  • Der Kolmogorow-Smirnow-Test kann zum Testen von Zufallszahlen genutzt werden, beispielsweise um zu prüfen, ob die Zufallszahlen einer bestimmten Verteilung (z. B. Gleichverteilung) folgen.
  • Einige (parametrische) statistische Verfahren setzen voraus, dass die untersuchten Variablen in der Grundgesamtheit normalverteilt sind. Der KSA-Test kann genutzt werden, um zu testen, ob diese Annahme verworfen werden muss oder (unter Beachtung des \beta\,-Fehlers) beibehalten werden kann.

Zahlenbeispiel[Bearbeiten]

Vergleich von empirischer und theoretischer Verteilung des Zahlenbeispiels: Links ein Histogramm mit Normalverteilungskurve, rechts die theoretische und die empirische Verteilungsfunktion

In einem Unternehmen, das hochwertige Parfüms herstellt, wurde im Rahmen der Qualitätssicherung an einer Abfüllanlage die abgefüllte Menge für n=8 Flakons gemessen. Es ist das Merkmal x: abgefüllte Menge in ml.

Es soll geprüft werden, ob noch die bekannten Parameter der Verteilung von X gelten.

Zunächst soll bei einem Signifikanzniveau α=0,05 getestet werden, ob das Merkmal X in der Grundgesamtheit überhaupt normalverteilt mit den bekannten Parametern \mu=11 und \sigma^2=\sigma=1 ist, also

H_0: F(x) = F_0(x) = \Phi (x|11;1)

mit Φ als Normalverteilungssymbol. Es ergibt sich folgende Tabelle:

i xi S(xi) Fo(xi) S(xi-1)-Fo(xi) S(xi)-Fo(xi)
1 9,41 0,125 0,056 -0,056 0,069
2 9,92 0,250 0,140 -0,015 0,110
3 11,55 0,375 0,709 -0,459 -0,334
4 11,60 0,500 0,726 -0,351 -0,226
5 11,73 0,625 0,767 -0,267 -0,142
6 12,00 0,750 0,841 -0,216 -0,091
7 12,06 0,875 0,855 -0,105 0,020
8 13,02 1,000 0,978 -0,103 0,022

Hier bezeichnen xi die i-te Beobachtung, S(xi) den Wert der Summenfunktion der i-ten Beobachtung und F0(xi) den Wert der Normalverteilungsfunktion an der Stelle xi mit den genannten Parametern. Die nächsten Spalten geben die oben angeführten Differenzen an. Der kritische Wert, der bei n=8 und \alpha=0,05 zur Ablehnung führte, wäre der Betrag 0,457 [1]. Die größte absolute Abweichung in der Tabelle ist 0,459 in der 3. Zeile. Dieser Wert ist größer als der kritische Wert, daher wird die Hypothese gerade noch abgelehnt. Es ist also zu vermuten, dass die Verteilungshypothese falsch ist. Das kann bedeuten, dass die abgefüllte Menge nicht mehr normalverteilt ist, dass sich die durchschnittliche Abfüllmenge \mu verschoben hat oder auch, dass sich die Varianz \sigma^2 der Abfüllmenge verändert hat.

Eigenschaften des KS-Tests[Bearbeiten]

Beim Einstichprobenproblem ist der KS-Test im Gegensatz etwa zum χ²-Test auch für kleine Stichproben geeignet.[4]

Der Kolmogorow-Smirnow-Test ist als nichtparametrischer Test sehr stabil und unanfällig. Ursprünglich wurde der Test für stetig verteilte metrische Merkmale entwickelt; er kann aber auch für diskrete und sogar rangskalierte Merkmale verwendet werden. In diesen Fällen ist der Test etwas weniger trennscharf, d.h. die Nullhypothese wird seltener abgelehnt als im stetigen Fall.

Ein großer Vorteil besteht darin, dass die zugrundeliegende Zufallsvariable keiner Normalverteilung folgen muss. Die Verteilung der Prüfgröße dn ist für alle (stetigen) Verteilungen identisch. Dies macht den Test vielseitig einsetzbar, bedingt aber auch seinen Nachteil, denn der KS-Test hat allgemein eine geringe Teststärke. Der Lilliefors-Test ist eine Anpassung des Kolmogorow-Smirnow-Tests für die Testung auf Normalverteilung. Mögliche Alternativen zum KS-Test sind der Cramér-von-Mises-Test, der für beide Anwendungsfälle geeignet ist, sowie der Anderson-Darling-Test für den Vergleich einer Stichprobe mit einer hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Tabelle der kritischen Werte
  2. Biometrika Tables for Statisticians, 2. Cambridge University Press, 1972, S. 117–123, Tables 54, 55.
  3. Tabelle der kritischen Werte für den Zweistichprobentest (PDF; 177 kB)
  4.  Jürgen Janssen, Wilfried Laatz: Statistische Datenanalyse mit SPSS für Windows. 6. Auflage. Springer, 2007, S. 569.