Komma (Musik)

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Diatonische Intervalle
Prime
Sekunde
Terz
Quarte
Quinte
Sexte
Septime
Oktave
None
Dezime
Undezime
Duodezime
Tredezime
Halbton/Ganzton
Besondere Intervalle
Mikrointervall
Komma
Diësis
Limma
Apotome
Ditonus
Tritonus
Wolfsquinte
Maßeinheiten
Cent
Millioktave
Oktave
Savart

Unter einem Komma versteht man in der Musiktheorie ein kleines Intervall (wesentlich kleiner als ein Halbton), das sich als Differenz unterschiedlicher Kombinationen reiner Intervalle ergibt. Der Begriff steht in enger Beziehung zu den Stimmungssystemen. Beim Versuch, eine möglichst große Anzahl musikalisch verwendbarer Töne und Intervalle zu gewinnen, werden stets ein oder mehrere Kommata ausgeglichen.

Besonders bekannt ist das pythagoreische Komma, das im Quintenzirkel anschaulich wird: die Aneinanderreihung von 12 reinen Quinten führt zu einem Ton, der geringfügig vom (entsprechend oktavierten) Ausgangston abweicht.

Übersicht[Bearbeiten]

Die bekanntesten Kommata
Name Entstehung Größe
Pythagoräisches Komma 12 Quinten - 7 Oktaven 23,46 Cent
Kleine Diesis Oktave - 3 gr. Terzen 41,06 Cent
Große Diesis 4 kl. Terzen - Oktave 62,57 Cent
Syntonisches Komma 4 Quinten - gr. Terz - 2 Okt. 21,51 Cent
Schisma 8 Quinten + gr. Terz - 5 Okt. 1,954 Cent
Kleisma 6 gr. Terzen + Okt. - 5 Quinten 8,11 Cent
Diaschisma 3 Oktaven - 4 Quinten - 2 gr. Terzen 19,55 Cent

Pythagoreisches Komma[Bearbeiten]

Zwölf reine Quinten übereinandergelegt erreichen einen Ton, der von der siebten Oktave des Grundtons einen Abstand etwa eines viertel Halbtones hat, das pythagoreische Komma:

\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{12}}{2^7}=\frac{3^{12}}{2^{19}}=\frac{531441}{524288} \widehat \approx \text { 23,46 Cent}

Syntonisches Komma[Bearbeiten]

Vier reine Quinten (3/2) übereinandergelegt erreichen einen Ton, der von der zweiten Oktave des Grundtons einen Abstand von der pythagoreischen Terz hat. Diese Terz ist etwa um einen fünftel Halbton, das syntonische Komma oder didymische Komma, größer ist als die reine Terz.

Die pythagoreische Terz im Vergleich zur reinen Terz:

 \text {pyth. Terz:} \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{4}}{2^2} = \frac{3^4}{2^6} = \frac{81}{64}
 \widehat \approx \text { 407,82 Cent.}
\text { } \text { }\text { Reine Terz: } \frac{5}{4} \widehat  \approx \text { 386,31 Cent.}
 .

Das syntonische Komma:

 \frac{81}{64} \cdot \frac{4}{5} = \frac{81}{80}
\widehat \approx \text {(407,82 - 386,31) Cent = 21,51 Cent}.

Der große Ganzton (9/8) unterscheidet sich vom kleinen Ganzton (10/9) um das syntonische Komma:

 \frac{9}{8} \cdot \frac{9}{10} = \frac{81}{80}  \widehat \approx 21{,}51.

Schisma[Bearbeiten]

Das Schisma ist die Differenz zwischen dem pythagoreischen Komma und dem syntonischen Komma:

 23{,}46\;\mathrm{Cent} - 21{,}51\;\mathrm{Cent} = 1{,}95\;\mathrm{Cent}.

Das exakte Frequenz-Verhältnis ist

 \frac {\left(\frac{3}{2}\right)^{12}} {2^7} : \frac{81}{80} = \frac{32\,805}{32\,768}  \widehat \approx 1{,}9537\;\mathrm{Cent} .

Andreas Werckmeister ("Musicalische Temperatur", Quedlinburg 1691) betrachtet das Schisma bei der Konstruktion seiner wohltemperierten Stimmungen: Geht man von h eine Reihe von reinen Quinten herab bis ces, ist der letzte Ton - oktaviert - ein pythagoräisches Komma tiefer ist als h. Geht man andererseits von h ein syntonisches Komma herab, so erhält man einenTon ,h (Tiefkomma h), der im reinen Durakkord g-,h-d vorkommt und der sich von Ces nur um das Schisma unterscheidet. Dieser Unterschied ist an der "Grenze der wahrnehmbaren Tonunterschiede" (Siehe Das Reinharmonium). Man kann also ,h mit ces identifizieren: ,h = ces, ebenso des = ,cis; es=,dis; ges=,fis, as = ,gis, b = ,ais u.s.w.

Das Schisma sollte nicht mit dem zwölften Teil des pythagoreischen Kommas verwechselt werden (der für Stimmungssysteme relevant ist), auch wenn sich die Zahlenwerte in Cent ähneln:

  \sqrt[12]{\frac{531441}{524288}}   \widehat \approx 1{,}9550\;\mathrm{Cent} .

Geschichtliche Einordnung[Bearbeiten]

In Euklids "Teilung des Kanons", in dem das theoretische Wissen über Musik der damaligen Zeit (ca. 3. Jahrhundert v. Chr.) zusammengefasst wird, kann man als Satz 14 nachlesen: "Die Oktave ist kleiner als 6 Ganztöne". Dabei ist die Oktave das Intervall mit der Proportion (heutige Interpretation: Frequenzverhältnis) 2:1 und der Ganzton das Intervall mit der Proportion 9:8. Die Differenz (sechs Ganztöne - Oktave) bezeichnet man als pythagoreisches Komma. Dessen Proportion wird bei Euklid zu 531441:524288 angegeben (allerdings kommt der Terminus κόμμα bei Euklid nicht vor).

Erst mit Aufkommen der mehrstimmigen Musik in Renaissance und Barock spielen die Kommata, besonders für das Stimmen von Tastinstrumenten, bei denen nur 12 Tonstufen in der Oktave vorhanden waren, eine entscheidende Rolle. Es wurde eine Vielzahl von Stimmungssystemen entwickelt, in denen die Kommata unterschiedlich auf die Tonstufen verteilt wurden.

Weitere als Komma bezeichnete Kleinstintervalle[Bearbeiten]

Enharmonisches Komma[Bearbeiten]

Werden drei große Terzen aneinandergereiht, so ergeben diese in gleichstufig-temperierter Stimmung eine Oktave, in reiner Stimmung dagegen ein etwas kleineres Intervall. Der Unterschied zur Oktave wird enharmonisches Komma oder kleine Diësis genannt. Das enharmonische Komma ist in mitteltöniger Stimmung genau der Unterschied zwischen den enharmonischen Wechseltönen, z. B. Dis-Es.

Das exakte Frequenz-Verhältnis ist

 \frac{2}{\left(\frac{5}{4}\right)^{3}} = \frac{2 \cdot 4^{3}}{5^{3}} = \frac{128}{125}  \widehat \approx 41{,}06\;\mathrm{Cent} .

Leipziger Komma[Bearbeiten]

Als Leipziger Komma wird das ca. 27,26 Cent große Intervall mit dem Schwingungsverhältnis 64:63 bezeichnet, das zwischen

  • der Naturseptime (7:4 ca. 968,82 Cent) und
  • der kleinen Septime (16:9 ca. 996,08 Cent)

der Reinen Stimmung liegt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Vergleiche auch – jenseits der Musik – die metrologischen Kommata der alten Maße und Gewichte.