Kommakategorie

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Eine Kommakategorie ist eine Konstruktion in der mathematischen Kategorientheorie, die 1963 von F. W. Lawvere eingeführt wurde. Der Name ergibt sich aus der ursprünglich von Lawvere verwendeten Notation.

Definition[Bearbeiten]

Für die allgemeinste Konstruktion der Kommakategorie betrachtet man zwei Funktoren. Typischerweise ist einer von beiden auf der terminalen Kategorie definiert: viele kategorientheoretische Darstellungen betrachten nur diesen Fall.

Seien \mathcal{A}, \mathcal{B} und \mathcal{C} Kategorien, T und S Funktoren \mathcal A \xrightarrow{\;\; T\;\;} \mathcal C\xleftarrow{\;\; S\;\;} \mathcal B. Die Kommakategorie (T \downarrow S) ist folgendermaßen definiert:

  • Die Objekte sind Tripel (\alpha, \beta, f), wobei \alpha Objekt in \mathcal{A}, \beta Objekt in \mathcal{B} und f : T(\alpha)\rightarrow S(\beta) Pfeil in \mathcal{C} ist.
  • Die Pfeile von (\alpha, \beta, f) nach (\alpha', \beta', f') sind Paare (g, h), wobei g \colon \alpha \rightarrow \alpha' und h \colon \beta \rightarrow \beta' jeweils Pfeile in \mathcal A und \mathcal B sind, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
\begin{matrix} T(\alpha) & \xrightarrow{T(g)} & T(\alpha')\\ f \Bigg\downarrow & & \Bigg\downarrow f'\\ S(\beta) & \xrightarrow[S(h)]{} & S(\beta') \end{matrix}
Die Verkettung von Pfeilen ist durch (g, h) \circ (g', h') := (g \circ g', h \circ h') definiert.

Spezialfälle[Bearbeiten]

Kategorie der Objekte unter A[Bearbeiten]

Der erste Spezialfall tritt ein, wenn \mathcal{A} terminal und S identischer Funktor ist (also \mathcal{B} = \mathcal{C}). (Dann ist T(\alpha) = id_A für ein festes Objekt A in \mathcal{C} und den einzigen Pfeil \alpha in \mathcal{A}). Die diesbezügliche Kommakategorie heißt Kategorie der Objekte unter A, geschrieben (A \downarrow \mathcal{C}). Die Objekte (\alpha, \beta, f) können kurz (\beta, f) notiert werden, da die Festlegung von A die Angabe von \alpha überflüssig macht; f : T(\alpha) \rightarrow S(\beta) notieren wir kurz als f : A \rightarrow \beta - oft wird f auch i_\beta genannt, um es als Injektion zu kennzeichnen. Ähnlich können wir die Darstellung eines Pfeils (g, h) : (B, i_B) \rightarrow (B', i_{B'}) auf h : B \rightarrow B' reduzieren, da g stets als id_A gewählt wird. Das folgende Diagramm kommutiert:

CommaCategory-02.png

A ist ein Anfangsobjekt von (A \downarrow \mathcal{C}). Ist A bereits ein Anfangsobjekt von \mathcal C, so ist (A \downarrow \mathcal{C}) isomorph zu \mathcal C.

Beispiele:

Kategorie der Objekte über A[Bearbeiten]

Analog können wir T identisch und \mathcal{B} terminal wählen. Wir erhalten dann die Kategorie der Objekte über A (wobei A das durch S ausgewählte Objekt von \mathcal{C} ist). Diese Kommakategorie notieren wir als (\mathcal{C} \downarrow A); in der algebraischen Geometrie ist die Bezeichnung \mathcal C/A üblich. Sie ist das duale Konzept zu Objekten unter A. Die Objekte sind Paare (\beta, \pi_\beta) mit \pi_\beta : \beta \rightarrow A; dabei steht \pi für Projektion auf A. Ein Pfeil in der Kommakategorie mit Quelle (B, \pi_B) und Ziel (B', \pi_{B'}) wird durch eine Abbildung g : B \rightarrow B' gegeben, die das folgende Diagramm kommutieren lässt:

CommaCategory-01.png

A ist ein Endobjekt von (\mathcal{C} \downarrow A). Ist A bereits ein Endobjekt von \mathcal C, so ist (\mathcal{C} \downarrow A) isomorph zu \mathcal C.