Kommutatorgruppe

In der Mathematik bezeichnet die Kommutatorgruppe (oder Kommutator-Untergruppe) zu einer Gruppe $G$ diejenige Untergruppe, die von den Kommutatoren in der Gruppe $G$ erzeugt wird:

$K(G) = \left\langle\left\{[a,b]\mid\ a,b\in G\right\}\right\rangle,\qquad [a,b]=aba^{-1}b^{-1}.$

Die Kommutatorgruppe wird auch mit $[G,G]$ bezeichnet.

Im Allgemeinen ist die Menge aller Kommutatoren keine Untergruppe von $G$, die Phrase erzeugt von in der Definition kann also nicht weggelassen werden.

Das Inverse eines Kommutators ist gegeben durch $[a,b]^{-1}=[b,a]$, entsprechendes für Produkte aus Kommutatoren.

Die Ordnung der Kommutatorgruppe gibt einen Hinweis darauf, wie weit eine Gruppe von der Kommutativität entfernt ist. Eine Gruppe ist genau dann kommutativ (abelsch), wenn ihre Kommutatorgruppe nur aus dem neutralen Element besteht. In diesem Falle gilt nämlich $[a,b]=e$. Gruppen, bei denen die Kommutatorgruppe hingegen die ganze Gruppe umfasst, heißen perfekte Gruppen.

Eigenschaften

Da die Menge der Kommutatoren unter jedem Automorphismus von $G$ auf sich abgebildet wird, ist die Kommutatorgruppe eine charakteristische Untergruppe von $G$ und damit auch ein Normalteiler der Gruppe.

Die Faktorgruppe $G/K(G)$ ist stets abelsch, sie wird als Abelisierung der Gruppe bezeichnet. Für jeden Normalteiler $N$ gilt:

$G/N$ ist genau dann abelsch, wenn $K(G) \subseteq N.$

Das heißt, die Kommutatorgruppe ist der kleinste Normalteiler, für den die Faktorgruppe abelsch ist.

Beispiel

Es sei $S_n$ die symmetrische Gruppe und $A_n$ die alternierende Gruppe. Dann gilt:

• $K(S_n) = A_n$ für $n\geq 2.$
• $K(A_n) = A_n$ für $n\geq 5.$
• $K(A_4) = V$, wobei $V$ die Kleinsche Vierergruppe bezeichnet.
• $K(A_3) = K(A_2) = \{e\}.$

Höhere Kommutatorgruppen

Das Bilden der Kommutatorgruppe lässt sich iterieren, man bezeichnet die $n$-te Kommutatorgruppe mit $K_{n}(G)$. Die rekursive Definition lautet:

1. $K_{0}(G) := G.$
2. $K_{n+1}(G) := K\left(K_{n}(G)\right).$

Eine Gruppe $G$ heißt auflösbar genau dann, wenn eine absteigende Kette von Subnormalteilern $G=G_0\triangleright G_1\triangleright\ldots\triangleright G_n=\{e\}$ (Subnormalreihe) existiert, so dass die Faktorgruppen $G_k/G_{k+1}$ abelsch sind. Die Konstruktion der iterierten Kommutatorgruppe liefert ein Kriterium für die Auflösbarkeit von $G$:

$G$ ist genau dann auflösbar, wenn es ein $n \in \mathbb{N}$ gibt mit $K_{n}(G) = \{ e\}.$

Entweder ist die bei fortgesetzter Kommutatorbildung entstehende absteigende Reihe von Untergruppen oder eine Verfeinerung dieser Reihe äquivalent zu jeder solchen Subnormalreihe oder einer Verfeinerung derselben.

Der Zusammenhang zwischen den beiden äquivalenten Definitionen der Auflösbarkeit, über fortgesetzte Kommutatorenbildung einerseits und über eine Subnormalreihe andererseits sowie der Begriff der Subnormalreihe selbst werden ausführlicher im Artikel „Reihe (Gruppentheorie)“ erläutert.

Beispiel

Die symmetrische Gruppe $S_n$ bzw. die alternierende Gruppe $A_n$ ist genau dann auflösbar, wenn $n<5$. Für $n\in\{2,3\}$ sieht man das sofort mit obigem Beispiel ein. Für $n=4$ gilt:

$K(S_4) = A_4$, $K(A_4) = V$, $K(V) = \{e\}$, da $V$ abelsch ist.

Für $n\geq 5$ wird die Kette der iterierten Kommutatorgruppen stationär bei $A_n \neq \{e\}$, also ist dann weder $S_n$ noch $A_n$ auflösbar.

Literatur

• Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9