Kompakt-Offen-Topologie

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Die Kompakt-Offene-Topologie kurz KO-Topologie[1] ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur auf Funktionenräumen stetiger Funktionen. Sind nämlich X und Y topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge C(X,Y) aller stetigen Funktionen X\to Y wieder mit einer Topologie auszustatten. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die Kompakt-Offen-Topologie als besonders geeignet herausgestellt.

Die Mathematiker R. H. Fox (1945) und Richard Friederich Arens (1946) definierten als erste diese Topologie und untersuchten sie systematisch.[2]

Definition[Bearbeiten]

Seien X und Y topologische Räume. Ist K\subset X kompakt und U\subset Y offen, so sei \Omega(K,U) := \{f\in C(X,Y): \, f(K)\subset U\}.

Die Kompakt-Offen-Topologie auf C(X,Y) ist die von allen Mengen der Form \Omega(K,U), K\subset X kompakt, U\subset Y offen, erzeugte Topologie, d.h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen \Omega(K,U).

Die Mengen \Omega(K,U), K\subset X kompakt, U\subset Y offen, bilden damit eine Subbasis der Kompakt-Offen-Topologie. Diese Topologie wird oft mit co abgekürzt (engl. compact-open), C_{co}(X,Y) bezeichnet dann den Raum C(X,Y), der mit der Kompakt-Offen-Topologie versehen ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Im Folgenden seien X und Y topologische Räume.

Trennungsaxiome[Bearbeiten]

Ist Y T0-Raum, T1-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt C_{co}(X,Y) demselben Trennungsaxiom.

Die Auswertungsabbildung[Bearbeiten]

Für jede nicht-leere Teilmenge H\subset C(X,Y) hat man die Auswertungsabbildung j_H: H\times X \to Y, (f,x)\mapsto f(x). Ist \tau irgendeine Topologie auf H, so dass j_H stetig ist (H\times X trägt dabei die Produkttopologie aus \tau und der auf X gegebenen Topologie), so ist co|_H\subset \tau, d.h., die relative Kompakt-Offen-Topologie auf H ist gröber als \tau. In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung j_H stetig, wenn man H mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie versieht; es gilt:

Ist X lokalkompakt und Y ein beliebiger topologischer Raum, so ist die Kompakt-Offen-Topologie auf jeder Teilmenge H\subset C(X,Y) die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung j_H: H\times X \to Y, (f,x)\mapsto f(x) stetig macht.

Komposition[Bearbeiten]

Seien X und Y lokalkompakt, Z sei ein dritter topologischer Raum. Dann ist die Kompositionsabbildung

C_{co}(X,Y)\times C_{co}(Y,Z) \rightarrow C_{co}(X,Z), \,\, (f,g)\mapsto g\circ f

stetig.

Kompakte Konvergenz[Bearbeiten]

Sei X lokalkompakt, Y uniformer Raum. Dann stimmt die Kompakt-Offen-Topologie auf C(X,Y) mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

Anwendung[Bearbeiten]

Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei X ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt p\in X. Mit \pi_1(X,p) werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt p bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen \pi_n(X,p) betrachte man den Raum \Omega_{X,p} aller stetigen Abbildungen g: ([0,1]^2, \partial[0,1]^2) \to (X,p) des Einheitsquadrates [0,1]^2 nach X, die den Rand \partial[0,1]^2 des Einheitsquadrates auf den Basispunkt p abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus \Omega_{X,p}, die das Einheitsquadrat auf den Punkt p abbildet, mit \tilde{p} und versieht man \Omega_{X,p} mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie von C([0,1]^2,X), so ist das Paar (\Omega_{X,p},\tilde{p}) ein topologischer Raum mit einem ausgezeichnetem Punkt.

Man definiert nun \pi_2(X,p):= \pi_1(\Omega_{X,p},\tilde{p}) und allgemeiner rekursiv \pi_n(X,p):= \pi_{n-1}(\Omega_{X,p},\tilde{p}) für n>1.

Quellen[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Gerd Laures: Grundkurs Topologie / Gerd Laures ; Markus Szymik. Spektrum, Akad. Verl., Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4, S. 72.
  2. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 333.