Komplanarität

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Komplanarität oder Koplanarität ist ein Begriff aus der Geometrie – einem Teilbereich der Mathematik. Mehrere Punkte heißen komplanar, wenn sie in einer Ebene liegen. Drei Vektoren gelten als komplanar, wenn sie linear abhängig sind. Einer der drei Vektoren lässt sich also als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen; komplanare Vektoren liegen in derselben Ebene.

Komplanaritätsuntersuchung[Bearbeiten]

Zur Überprüfung der Komplanarität von Vektoren kann eine Komplanaritätsuntersuchung durchgeführt werden. Gegeben seien drei Vektoren \vec a, \vec b, \vec c \in \R^n. Für die Komplanarität muss die Gleichung \alpha \vec a + \beta \vec b + \gamma \vec c = \vec 0 mit \alpha, \beta, \gamma \in \R erfüllbar sein, wobei \alpha, \beta, \gamma nicht gleichzeitig 0 sein dürfen. Die Lösung lässt sich mittels eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und den Unbekannten \alpha, \beta, \gamma ermitteln.

Entstammen die Vektoren einem dreidimensionalen Vektorraum, so lässt sich diese Prüfung mit dem Spatprodukt durchführen. Die Vektoren \vec a, \vec b, \vec c sind komplanar wenn \det(\vec a, \vec b, \vec c) = 0.

Beispiel[Bearbeiten]

Drei Vektoren \vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, \vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} und \vec c = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4  \end{pmatrix} sollen auf Komplanarität untersucht werden.

Ansatz:

\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = r \cdot  \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4  \end{pmatrix} mit r, s \in \mathbb{R}

Aus dem Ansatz folgt das lineare Gleichungssystem:

\begin{Bmatrix}2r + 2s &=& 2 \\
6r + 0s &=& 4 \\
7r + 4s &=& 6 \end{Bmatrix}

\Leftrightarrow

\begin{Bmatrix}2r + 2s &=& 2 &(I)\\
r &=& \frac{2}{3} &(II)\\
7r + 4s &=& 6 &(III)\end{Bmatrix}


Einsetzen des Ergebnisses für r in Gleichung (I) ergibt:

2 \cdot \frac{2}{3} + 2s = 2 \Leftrightarrow 2s = 2 - \frac{4}{3} \Leftrightarrow 2s = \frac{2}{3} \Leftrightarrow s = \frac{1}{3}


Gleichung (III) ist für r = \frac{2}{3} und s = \frac{1}{3} erfüllt:

7 \cdot \frac{2}{3} + 4 \cdot \frac{1}{3} = 6 \Leftrightarrow \frac{14}{3} + \frac{4}{3} = 6 \Leftrightarrow \frac{18}{3} = 6 \Leftrightarrow 6 = 6


\vec a ist durch eine Linearkombination von \vec b und \vec c darstellbar:

\vec a = \frac{2}{3} \cdot  \vec b + \frac{1}{3} \cdot \vec c

und es gilt:

1 \cdot \vec a - \frac{2}{3} \cdot  \vec b - \frac{1}{3} \cdot \vec c = \vec 0

Somit sind \vec a, \vec b und \vec c komplanar.

Verwendung[Bearbeiten]

Komplanaritätsuntersuchungen werden häufig bei der Ermittlung der Lagebeziehungen zwischen Geraden oder Geraden und Ebenen durchgeführt.