Komplement (Mengenlehre)

∁

In der Mengentheorie und anderen Teilgebieten der Mathematik sind zwei verschiedene Komplemente definiert: Das relative Komplement und das absolute Komplement.

Relatives Komplement

Definition

Das (relative) Komplement der Menge A in B ist wiederum eine Teilmenge von B und hier blau gefärbt.

Sind $A$ und $B$ Mengen und $A$ sei eine Teilmenge von $B$, dann ist das relative Komplement, auch mengentheoretisches Komplement oder mengentheoretische Differenz genannt, die Menge genau der Elemente aus $B$, welche nicht in $A$ enthalten sind. Die formale Definition des relativen Komplements ist

$A^{\rm C}\colon=B\setminus A = \left\{x \in B\mid x \not\in A\right\}$

und man sagt „B ohne A“. Das Komplement unterscheidet sich von der normalen Subtraktion von Mengen nur dadurch, dass die Teilmengenbeziehung zwischen den betrachteten Mengen bestehen muss. Relativ heißt es deshalb, weil man für eine Menge $A$ das Komplement nicht angeben kann, ohne den Kontext zu kennen. Ist hingegen die Menge $B$ fixiert, so kann man $B \setminus A$ anstelle von „das relative Komplement von A in B“ auch einfach nur „das Komplement von A“ nennen.

Beispiele

• $\left\{1,2,3\right\}\setminus\left\{2,3\right\} = \left\{1\right\}$
• $\left\{2,3,4\right\}\setminus\left\{2,3\right\} = \left\{4\right\}$
• Für $\mathbb R$ (reelle Zahlen) und $\mathbb Q$ (rationale Zahlen), ist $\mathbb R \setminus \mathbb Q$ die Menge der irrationalen Zahlen.

Eigenschaften

Im Folgenden sind einige Eigenschaften relativer Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet. Seien $A$, $B$ und $C$ Mengen, dann gelten folgende Identitäten:

• $C\setminus\left(A \cap B\right) =\left(C \setminus A\right)\cup\left(C\setminus B\right)$
• $C\setminus\left(A\cup B\right)=\left(C \setminus A\right)\cap\left(C\setminus B\right)$
• $C\setminus\left(B\setminus A\right) = (A\cap C) \cup (C \setminus B)$
• $\left(B\setminus A\right)\cap C = (B\cap C)\setminus A = B\cap (C\setminus A)$
• $\left(B\setminus A\right)\cup C = (B \cup C)\setminus\left(A \setminus C\right)$
• $A\setminus A =\emptyset$
• $A\setminus\emptyset = A$

Absolutes Komplement

Definition

Das Komplement von A in U

Ist ein Universum $U$ definiert, so wird für jede Menge $A \subseteq U$ das relative Komplement von $A$ in $U$ auch absolutes Komplement (oder einfach Komplement) von $A$ genannt und als $A^{\rm C}$ (manchmal auch als $A'$, oder auch als $\bar A$, $\complement_U A$ bzw. $\complement A$ wenn $U$ fest ist) notiert, es ist also:

$A^{\rm C} = U \setminus A$

Beispiel

Ist das Universum zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen, so ist das (absolute) Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen.

Eigenschaften

Im Folgenden sind einige Eigenschaften absoluter Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet. Seien $A$ und $B$ Teilmengen des Universums $U$, dann gelten folgende Identitäten:

De Morgansche Regeln:

• $\left(A\cup B\right)^{\rm C}=A^{\rm C}\cap B^{\rm C}$
• $\left(A\cap B\right)^{\rm C}=A^{\rm C}\cup B^{\rm C}$

Komplementgesetze:

• $A \cup A^{\rm C} = U$
• $A \cap A^{\rm C} = \emptyset$
• $\emptyset^{\rm C} = U$
• $U^{\rm C} = \emptyset$
• Ist $A \subseteq B$, so ist $B^{\rm C} \subseteq A^{\rm C}$

Involution:

• $(A^{\rm C})^{\rm C} = A$

Beziehungen zwischen relativen und absoluten Komplementen:

• $A \setminus B = A \cap B^{\rm C}$
• $(A \setminus B)^{\rm C} = A^{\rm C} \cup B$

Die ersten beiden Komplementgesetze zeigen, dass, wenn $A$ eine nichtleere Teilmenge von $U$ ist, $\{ A, A^{\rm C} \}$ eine Partition von $U$ ist.

Siehe auch

• Dualitätsprinzip der Mengenlehre

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.