Komplement (Verbandstheorie)

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Komplementäre Elemente[Bearbeiten]

In einem beschränkten Verband (Mathematik) V nennt man ein Element b ein Komplement von a, wenn

  • a \sqcap b = 0 und a \sqcup b = 1

gilt.

Ein beschränkter Verband, in dem jedes Element (mindestens) ein Komplement hat, heißt komplementärer Verband.

Im Allgemeinen kann es zu einem Elemente mehrere komplementäre Elemente geben. Ist das Komplement von a eindeutig, dann werden verschiedene Bezeichnungen verwendet: bei Teilmengenverbänden ist ac üblich, bei Anwendungen in der Logik ¬a, bei Schaltalgebren \overline {a}.
Es gilt

  • ¬0 = 1, ¬1 = 0.

In einem distributiven beschränkten Verband kann jedes Element höchstens ein Komplement haben [1]
Falls a ein Komplement ¬a hat, dann hat auch ¬a ein Komplement, nämlich:

  • ¬(¬a) = a.

Ein distributiver komplementärer Verband heißt Boolescher Verband oder Boolesche Algebra.

Hauptartikel: Boolesche Algebra

Relative Komplemente[Bearbeiten]

Der nicht-modulare Verband N_5 ist komplementär: b und c sind beide Komplemente von a.
Er ist nicht relativ-komplementär: im Intervall [0,c] hat b kein Komplement.

Sind a,b Elemente eines Verbandes, dann heißt die Menge \left\{ x \in V| a \le x \and x \le b \right\} das durch a und b bestimmte Intervall.
Die Definition stimmt auf geordneten Mengen mit der eines abgeschlossenen Intervalls überein und es wird die gleiche Bezeichnung [a,b] verwendet. [2]

Sind c,d \in [a,b], dann heißt d relatives Komplement von c bezüglich [a,b], wenn

  • c \sqcap d = a und c \sqcup d = b gilt.

Auch hier gilt, dass es in [a,b] mehrere zu c komplementäre Elemente geben kann und dass aus dem Distributivgesetz die Eindeutigkeit folgt.

Ein Verband heißt relativkomplementär, wenn es in jedem Intervall zu jedem Element ein relatives Komplement gibt.

Ein relativkomplementärer Verband ist ein komplementärer Verband genau dann, wenn er beschränkt ist. Umgekehrt muss ein komplementärer Verband nicht relativkomplementär sein. Es gilt aber: Ein modularer komplementärer Verband ist relativkomplementär.[3]

Relative Komplemente können zur Charakterisierung von distributiven Verbänden dienen:

Ein Verband V ist genau dann distributiv, wenn jedes Element in jedem Intervall höchstens ein relatives Komplement besitzt.[4]

Pseudokomplemente[Bearbeiten]

Regeln für Pseudokomplemente: a < ¬¬a und ¬a⊔¬b < ¬(a⊓b) können vorkommen

Sind a,b zwei Elemente eines Verbandes, dann nennt man ein größtes Element c, für das  a \sqcap c \le b gilt, ein relatives Pseudokomplement von a bezüglich b.

Ein relatives Pseudokomplement von a bezüglich 0 heißt einfach Pseudokomplement von a.

Ein Verband, in dem für jedes Element a ein Pseudokomplement existiert, heißt pseudokomplementärer Verband.

Die Bezeichnung für Pseudokomplemente ist nicht einheitlich.[5]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Wenn (relative) Pseudokomplemente existieren, dann sind sie eindeutig bestimmt.

In einem distributiven Verband bildet \{x| a \sqcap x = 0\} ein Ideal. Daher ist die Existenz von Pseudokomplementen in endlichen distributiven Verbänden gesichert. Die Distributivität ist wesentlich: M3 ist nicht pseudokomplementär.

Für Pseudokomplemente muss nicht \neg \neg a = a gelten, auch wenn V distributiv ist. Es ist aber immer:

  • a \le \neg \neg a und \neg \neg \neg a = \neg a

Für Pseudokomplemente gilt eins der De Morgansche Gesetze:

  • \neg (a \sqcup b) = \neg a \sqcap \neg b \qquad

Für die duale Form gilt lediglich:

Ein distributiver relativ-komplementärer Verband heißt Heyting-Algebra.

Hauptartikel: Heyting-Algebra

Orthokomplemente[Bearbeiten]

In einem Verband heißt eine Funktion k: V \to V eine Orthogonalisierung, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

  • a \sqcup a^k = 1\qquad und \qquad a \sqcap a^k = 0
  • (a^k)^k = a
  • a \le b \implies b^k \le a^k,

Der Verband (mit dieser Abbildung) wird als orthokomplementärer Verband bezeichnet. \textstyle a^k heißt Orthokomplement von a (zu dieser Orthogonalisierung) [7].

Wenn V ein distributiver komplementärer Verband ist, dann ist das Komplement von a auch sein einzig mögliches Orthokomplement. Im Allgemeinen kann man aber auch in einem distributiven Verband mehrere verschiedene Orthogonalisierungen haben.

Beispiele zu Orthokomplementen[Bearbeiten]

  • Ist V ein euklidischer Vektorraum und U1 ein Untervektorraum, dann bilden die zu U orthogonalen Vektoren einen (möglicherweise leeren) Vektorraum U2. U1 und U2 sind Orthokomplemente im (modularen) Verband der Unterräume von V.
  • Das Beispiel der euklidischen Vektorräume kann zu beliebigen Vektorräumen mit einem inneren Produkt verallgemeinert werden. Verschiedene innere Produkte liefern dabei i. A. verschiedene Orthokomplemente im Verband der Unterräume von V.
Dies sind typische Beispiele, die auch zur Namensgebung „Orthokomplement“ führten.
Beispiele für Orthokomplemente
Lattice M4.svg
dieser Verband lässt 3 verschiedene Orthogonalisierungen zu
T 30.svg
T_{30}: das „normale Komplement“ \textstyle a^c = \frac{30}{a} ist jeweils das einzig mögliche Orthokomplement
Hexagon lattice.svg
für diesen Verband gibt es genau eine Orthogonalisierung
M 3 mit Beschriftung.svg
es gibt keine Orthogonalisierung für M_3

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Dies folgt aus der Kürzungsregel
  2. G. Grätzer, Lattice theory, S. 20. In H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 72 wird abweichend die Bezeichnung b/a eingeführt.
  3. G. Grätzer, Lattice theory, S. 96.
  4. Die Beweisidee ist, dass in N_5 und M_3 jeweils die Kürzungsregel nicht gilt. Vgl. H.Gericke, Theorie der Verbände, S. 113f
  5. G.Grätzer verwendet a* für das Pseudokomplement und a * b für das relative Pseudokomplement (G.Grätzer, Lattice Theory: Foundation, p 99). Gericke verwendet ein gespiegeltes „\neg“-Symbol für die Bezeichnung. (H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 119) Auch a \rightarrow b oder a \Rightarrow b kommen vor.
  6. H.Gericke, Theorie der Verbände, S. 120f. Wegen dieser Eigenschaften können Pseudokomplemente zur Modellierung der intuitionistischen Logik verwendet werden.
  7. H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 106; für die Funktion wird hier jedoch eine deutlichere Bezeichnung verwendet

Literatur und Quellen[Bearbeiten]

  •  Gericke Helmuth: Theorie der Verbände. 2 Auflage. BI, Mannheim 1967.
  •  Grätzer George: Lattice Theory. First concepts and distributive lattices. W.H.Freeman and Company, 1971.