Komplexifizierung

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In der linearen Algebra ist eine Komplexifizierung eine Operation, die einem reellen Vektorraum einen komplexen Vektorraum zuordnet, der sehr ähnliche Eigenschaften hat.

Dazu definiert man V_\mathbb{C} = V \oplus iV. Hierbei ist i zunächst ein formales Symbol ohne weitere Bedeutung. Auf dem neuen Raum wird die Multiplikation und Addition für \alpha,\beta\in\mathbb{R}, x,x',y,y'\in V definiert durch:

  • (α + βi)(x,yi) = (αx − βy,i(βx + αy))
  • (x,yi) + (x',y'i) = (x + x',(y + y')i)

Auf V_\mathbb{C} gibt es die komplexe Konjugation \overline{x + yi} = x + (-y)i = x - yi
V lässt sich als Untervektorraum von V_\mathbb{C} auffassen, wobei x + yi \in V_\mathbb{C} genau dann in V ist, wenn \overline{x + yi} = x + yi gilt.

[Bearbeiten] Tensorprodukte

Man kann die Komplexifizierung auch durch das Tensorprodukt definieren:

V_\mathbb{C} = V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}.

Dann ist die Skalarmultiplikation mit z \in \mathbb{C} durch \operatorname{id} \otimes z gegeben.

[Bearbeiten] Bilinearformen und Skalarprodukte

Zu einer Bilinearform \Phi: V \times V \rightarrow \mathbb{R} gibt es eine Sesquilinearform \Phi_\mathbb{C}: V_\mathbb{C} \times V_\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} gegeben durch \Phi_\mathbb{C}(x + yi, x' + iy') = \Phi(x,x') + \Phi(y,y') + i(\Phi(y,x') - \Phi(x,y')). Es gilt \Phi_{\mathbb{C}|V \times V} = \Phi, die Einschränkung von \Phi_\mathbb{C} auf V \times V ist also wieder Φ.

Φ ist genau dann ein reelles Skalarprodukt, wenn \Phi_\mathbb{C} ein komplexes Skalarprodukt ist.

Da das komplexe Skalarprodukt einfacher zu beschreiben ist als das reelle, komplexifiziert man es, um dann im komplexen Raum weiterzuarbeiten.

[Bearbeiten] Lineare Abbildungen

Jede \mathbb{R}-lineare Abbildung f: V \rightarrow W liefert eine \mathbb{C}-lineare Abbildung f_\mathbb{C}: V_\mathbb{C} \rightarrow W_\mathbb{C} mit f_\mathbb{C} (x + yi) = f(x) + f(y)i. Dabei gilt:

  • f_\mathbb{C}(\overline{z}) = \overline{f_\mathbb{C}(z)} für alle z \in V_\mathbb{C}
  • (id_V)_\mathbb{C} = id_{(V_{\mathbb{C}})}
  • (f \circ g)_\mathbb{C} = f_\mathbb{C} \circ g_\mathbb{C}
  • Ist xj eine Basis von V, so ist xj + 0i Basis von V_\mathbb{C}.
  • Die Matrix zu f bezüglich xj ist gleich der Matrix zu f_\mathbb{C} bezüglich xj + 0i.
  • f und fC haben dasselbe charakteristisches Polynom
  • fC hat alle Eigenwerte von f.


Ist V euklidisch mit Skalarprodukt Φ und ist V_\mathbb{C} der dazugehörige unitäre Vektorraum V_\mathbb{C} mit \Phi_\mathbb{C} so gilt: (f^*)_\mathbb{C} = (f_\mathbb{C})^*.

f: V \rightarrow V hat genau dann eine folgenden Eigenschaften wenn sie auch f_\mathbb{C}: V_\mathbb{C} \rightarrow V_\mathbb{C} hat:

Komplexifizierte Matrizen sind häufig einfacher zu beschreiben, als das reelle Original, so ist zum Beispiel jede komplexe Matriz trigonalisierbar. wobei die obenerwähnten normalen Matrizen sich sogar diagonalisieren lassen.

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexifizierung“
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