Konfinalität

Die Konfinalität (auch: Kofinalität) bezeichnet in der Mengenlehre eine Eigenschaft von Ordinalzahlen. Der Begriff wurde von Felix Hausdorff eingeführt.

Definition

Sei $\lambda$ eine Limesordinalzahl und $X\subset\lambda$. Die Menge $X$ heißt konfinal (kofinal) in $\lambda$, falls zu jedem $\eta < \lambda$ ein $\theta \in X$ mit $\eta < \theta$ existiert.

Die Konfinalität einer Limesordinalzahl $\lambda$ wird mit $\mbox{cf}(\lambda)$ bezeichnet und ist definiert als die kleinste Ordinalzahl $\alpha$, für welche eine Funktion

$\mbox{f}:\alpha \to \lambda$

existiert, so dass das Bild $\mbox{f}[\alpha]$ konfinal in $\lambda$ ist.

Falls $\mbox{cf}(\lambda)$ < $\lambda$, so heißt $\lambda$ singulär. Falls $\mbox{cf}(\lambda)$ = $\lambda$, so heißt $\lambda$ regulär.

Eigenschaften

• Die Konfinalität ist immer eine Kardinalzahl.
• Es gilt $\mbox{cf}(\mbox{cf}(\lambda))=\mbox{cf}(\lambda)$, das heißt $\mbox{cf}(\lambda)$ ist regulär.
• Die Konfinalität liegt zwischen $\omega$ und $\lambda$, also: $\omega \leq \mbox{cf}(\lambda) \leq \lambda$.
• Besitzt eine unendliche Menge $\mbox{K}$ reguläre Kardinalität $\kappa$, so benötigt man mindestens $\kappa$-viele Mengen mit Mächtigkeit kleiner als $\kappa$, um $\mbox{K}$ als Vereinigung von Mengen darzustellen.

Beispiele

• $\omega$ ist regulär. Es gilt $\mbox{cf}(\omega) = \omega$.
• Die Kardinalzahl $\aleph_\omega$ ist singulär, zur Bezeichnung siehe Aleph-Funktion. Es gilt $\mbox{cf}(\aleph_\omega) = \omega$.
• Ist $\alpha$ eine Nachfolgerordinalzahl und gilt das Auswahlaxiom, so ist $\aleph_\alpha$ stets regulär. Die Frage, ob es neben $\omega$ weitere und damit überabzählbare, reguläre Limeskardinalzahlen gibt, ist Kern der großen Kardinalzahlaxiome, d. h. der Axiome über große Kardinalzahlen.

Literatur

• Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker, Vieweg-Verlag, 1985
• Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003) , ISBN 3-540-44085-2