Kongruenz (Zahlentheorie)

Die Kongruenz ist in der Zahlentheorie eine Beziehung zwischen drei ganzen Zahlen. Man nennt zwei Zahlen kongruent bezüglich eines Moduls (eine weitere Zahl), wenn sie bei Division durch den Modul denselben Rest haben. Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches des Moduls unterscheiden. Stimmen die Reste nicht überein, so nennt man die Zahlen inkongruent bezüglich des Moduls.

Beispielsweise ist 5 kongruent 11 modulo 3, da $5: 3 = 1 \, \operatorname{Rest} \, 2$ und $11: 3 = 3 \, \operatorname{Rest} \, 2$, bzw. $11 - 5 = 6 = 2 \cdot 3$. Und -8 ist kongruent zu 10 modulo 6, denn bei Division durch 6 liefern sowohl 10 als auch -8 den Rest 4. Man beachte, dass die mathematische Definition der Ganzzahldivision zugrunde gelegt wird, nach der der Rest dasselbe Vorzeichen wie der Divisor (hier 6) erhält, also $-8 : 6 = -2 \, \operatorname{Rest} \, 4$.

Für die Aussage „$a$ und $b$ sind kongruent modulo $m$“ verwendet man folgende Schreibweisen:

• $a \equiv b \mod m$
• $a \equiv b \pmod m$
• $a \equiv b \quad (m)$
• $a \equiv _m b$.

Die Bedeutung von Kongruenzen beruht darauf, dass mit ihnen annähernd wie mit Gleichungen gerechnet werden kann.

Die Theorie der Kongruenzen wurde von Carl Friedrich Gauß in seinem im Jahr 1801 veröffentlichten Werk „Disquisitiones Arithmeticae“ entwickelt. Der Begriff Kongruenz wurde von Christian Goldbach schon ab 1730 in Briefen an Leonhard Euler verwendet, jedoch ohne die theoretische Tiefe von Gauß. Im Gegensatz zu Gauß verwendete Goldbach das Symbol $\mp$ und nicht $\equiv$. Auch der chinesische Mathematiker Ch'in Chiu-Shao kannte schon Kongruenzen und die damit einhergehende Theorie, wie aus seinem 1247 veröffentlichten Buch „Mathematische Abhandlung in neun Kapiteln“ hervorgeht.

Formale Definition

In der Zahlentheorie wird die Kongruenz auf eine Teilbarkeitsaussage zurückgeführt. Seien dazu $a$, $b$ und $m$ ganze Zahlen, d.h. Elemente aus $\Z$.

Zwei Zahlen $a$ und $b$ heißen kongruent modulo $m$, wenn $m$ die Differenz $a - b$ teilt.

Zwei Zahlen $a$ und $b$ heißen inkongruent modulo $m$, wenn $m$ die Differenz $a - b$ nicht teilt.

Unter Verwendung der mathematischen Notation lassen sich diese beiden Aussagen wie folgt schreiben:

$a \equiv b \pmod m$

$\Leftrightarrow m \mid (a-b)$

$\Leftrightarrow \exists k \in \Z: a = km + b$

$a \not \equiv b \pmod m$

$\Leftrightarrow m \nmid (a-b)$

$\Leftrightarrow \forall k \in \Z: a \ne km + b$

Restklassen

Die Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation. Sie hat also die folgenden Eigenschaften:

Reflexivität

$a \equiv a \pmod{m}$ für alle $a \in \mathbb{Z}$

Symmetrie

$a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow b \equiv a \pmod{m}$ für alle $(a, b) \in \mathbb{Z}^2$

Transitivität

$a \equiv b \pmod{m}$ und $b \equiv c \pmod{m} \Rightarrow a \equiv c \pmod{m}$ für alle $(a, b, c) \in \mathbb{Z}^3$

Legt man einen Modul fest, so kann dadurch die Menge aller Zahlen auf sogenannte Restklassen verteilt werden. In einer Restklasse befinden sich alle Zahlen, die unter dem festgelegten Modul kongruent zueinander sind, die also stets den gleichen Rest aufweisen. Der Absolutwert des Modul entspricht immer der Anzahl der Restklassen. Beispielsweise existieren für den Modul 2 die beiden Restklassen der geraden und der ungeraden Zahlen. Die Restklassen eines Moduls bilden einen Ring, den sogenannten Restklassenring.

Rechenregeln

Im Folgenden seien $a$, $a'$, $b$, $b'$, $c$ und $m$ ganze Zahlen. Dabei sei $m \ne 0$, $a \equiv a' \pmod{m}$ und $b \equiv b' \pmod{m}$. Dann gelten folgende Rechenregeln:

$ca \equiv ca' \pmod{m}$

$a + b \equiv a' + b' \pmod{m}$

$a - b \equiv a' - b' \pmod{m}$

$ab \equiv a'b' \pmod{m}$

Ist $f \in \mathbb{Z}[X]$ ein Polynom über den ganzen Zahlen, dann gilt

$f(a) \equiv f(a') \pmod{m}$

Auch bei Kongruenzen ist ein Kürzen möglich. Es gelten jedoch andere Kürzungsregeln als von rationalen oder reellen Zahlen gewohnt. Ist der Modul $m$ ungleich Null, so gilt

$ca \equiv cb \pmod{m} \Leftrightarrow a \equiv b \pmod{\frac{m}{\operatorname{ggT}(c,m)}}$

Daraus folgt unmittelbar, dass wenn der Modul eine Primzahl $p$ und diese kein Teiler von $c$ ist, gilt

$ca \equiv cb \pmod{p} \Leftrightarrow a \equiv b \pmod{p}$

Für jeden Teiler $d$ von $m$ folgt aus $a\equiv b \mod m$, dass $a\equiv b \mod d$.

Sind $m_1, m_2, \ldots, m_k$ ganze Zahlen ungleich null und ist $m$ ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches, dann gilt

$a \equiv a' \pmod{m_\kappa}$ für alle $\kappa = 1, 2, \ldots, k \quad \Leftrightarrow \quad a \equiv a' \pmod{m}$

Potenzen

Ist $n \in \mathbb{N}_0$ eine natürliche Zahl, dann gilt

$a^n \equiv (a')^n \pmod{m}$

Sind $a$ und $m$ teilerfremd, dann gilt nach dem Satz von Euler

$a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m$

wobei $\varphi(m)$ die Eulersche φ-Funktion bezeichnet. Ein Spezialfall davon ist der kleine Fermat’sche Satz, demzufolge für alle Primzahlen $p$ die Kongruenz

$a^p \equiv a \pmod p$

erfüllt ist.

Abgeleitete Rechenregeln

1. Für $t \ne 0$ gilt: $\qquad t \cdot a \equiv t \cdot b \mod |t| \cdot m$
2. Ist $k$ ein Teiler von $m$, dann gilt: $\qquad a \equiv b \mod k$
3. Für jede ungerade Zahl $a$ gilt $a^2 \equiv 1 \mod 8$
4. Für jede ganze Zahl gilt entweder $a^3 \equiv 0 \mod 9$ oder $a^3 \equiv 1 \mod 9$ oder $a^3 \equiv 8 \mod 9$
5. Für jede ganze Zahl $a$ gilt $a^3 \equiv a \mod 6$
6. Für jede ganze Zahl gilt entweder $a^3 \equiv 0 \mod 7$ oder $a^3 \equiv 1 \mod 7$ oder $a^3 \equiv 6 \mod 7$
7. Für jede ganze Zahl gilt entweder $a^4 \equiv 0 \mod 5$ oder $a^4 \equiv 1 \mod 5$
8. Ist $a$ sowohl eine Quadratzahl als auch eine Kubikzahl (z. B. $a = 64$) dann gilt entweder $a \equiv 0 \mod 36$ oder $a \equiv 1 \mod 36$ oder $a \equiv 9 \mod 36$ oder $a \equiv 28 \mod 36$
9. Sei $p$ eine Primzahl mit $n < p < 2n$. Dann gilt
   ${2n \choose n} \equiv 0 \mod{p}$
10. Sei $a$ eine ungerade ganze Zahl. Ferner sei $n > 0$. Dann gilt: $a^{2^n} \equiv 1 \mod 2^{n+2}$
11. Sei $p > 3$. Ferner seien $p$ und $q = p + 2$ Primzahlzwillinge. Dann gilt: $p \cdot q \equiv -1 \mod 9$

Lösbarkeit von linearen Kongruenzen

Eine lineare Kongruenz der Form

$ax \equiv c \; (\bmod \, m)$

ist genau dann in $x$ lösbar, wenn $g = \operatorname{ggT}(a, m)$ die Zahl $c$ teilt. In diesem Fall besitzt die Kongruenz genau $g$ Lösungen in $\{0,1,\dotsc,m-1\}$, und die Lösungen sind zueinander kongruent modulo $m / g$.

Auch für große $m$ kann man die Lösungen effizient ermitteln, indem man den erweiterten euklidischen Algorithmus auf $a$ und $m$ anwendet, der neben $g$ auch zwei Zahlen $s$ und $t$ berechnet, die $g$ als Linearkombination von $a$ und $m$ ausdrücken:

$g = \operatorname{ggT}(a, m) = s\cdot a + t \cdot m$.

Eine Lösung erhält man dann mit $x_1 = (s \cdot c) / g$, und die übrigen Lösungen unterscheiden sich von $x_1$ um ein Vielfaches von $m / g$.

Beispiel: $4x \equiv 10 \; (\bmod \, 18)$ ist lösbar, denn $\operatorname{ggT}(4,18) = 2$ teilt die Zahl $10$, und es gibt $2$ Lösungen im Bereich $0 \leq x < 18$. Der erweiterte euklidische Algorithmus liefert $2 = -4 \cdot 4 + 1 \cdot 18$, was die Lösung $x = (-4 \cdot 10) / 2 = -20$ ergibt. Die Lösungen sind kongruent modulo $18 / 2 = 9$. Somit ist die Lösungsmenge

$\{ \cdots , -20, -11, -2, 7, 16, 25, \cdots \}$.

Eine simultane Kongruenz wie

$\qquad a_1x \equiv c_1 \; (\bmod \, m_1)$

$\qquad a_2x \equiv c_2 \; (\bmod \, m_2)$

$\qquad a_3x \equiv c_3 \; (\bmod \, m_3)$

ist sicher dann lösbar, wenn gilt:

• für alle $i$ ist $c_i$ durch $g_i = \operatorname{ggT}(a_i, m_i)$ teilbar, d. h. jede Kongruenz ist für sich lösbar
• die $m_i / g_i$ sind paarweise zueinander teilerfremd

Der Beweis des Chinesischen Restsatzes liefert den Lösungsweg für solche simultanen Kongruenzen.

Beziehung zur Modulo-Funktion

Sind zwei Zahlen kongruent modulo einer Zahl $m$, ergibt sich bei der Division durch $m$ derselbe Rest.

Mithilfe der vor allem in der Informatik verbreiteten Modulo-Funktion kann man dies so schreiben:

$a~\bmod~m = b~\bmod~m$.

Man beachte, dass dies mit der in der Informatik üblichen Modulo-Funktion nur für positive $a$ und $b$ richtig ist. Damit die Gleichung tatsächlich für alle $a$ und $b$ äquivalent zur Kongruenz wird, muss man die durch

$(a~\bmod~m)= a - \lfloor a/m \rfloor \cdot m$

definierte Modulo-Funktion verwenden. ($\lfloor. \rfloor$ ist die Gaußklammer.) Mit dieser Definition gilt beispielsweise $(-1) \bmod 7 = 6$.

Anwendungen

Kongruenzen bzw. Restklassen sind oft hilfreich, wenn man Berechnungen mit sehr großen Zahlen durchführen muss.

Eine wichtige Aussage über Kongruenzen von Primzahlen ist der kleine Satz von Fermat bzw. der fermatsche Primzahltest.

Siehe auch

• Chinesischer Restsatz
• Lineare Kongruenz
• Polynomkongruenz
• Simultane Kongruenz