Konjugation (Mathematik)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Dieser Artikel behandelt die Konjugation komplexer Zahlen. Für Konjugation in Gruppen siehe Konjugation (Gruppentheorie).
Der grüne Zeiger im oberen Bildteil beschreibt die komplexe Zahl z=a+b\mathrm i in der komplexen Zahlenebene (Gaußsche Zahlenebene). Die komplexe Konjugierte \bar z=a-b\mathrm i entsteht durch Spiegelung an der x-Achse (unterer grüner Zeiger). Die blauen Linien sollen die reellen und imaginären Anteile andeuten.

In der Mathematik bezeichnet man als komplexe Konjugation die Abbildung

\Bbb C\to\Bbb C,\quad z=a+b\cdot\mathrm{i}\;\;\mapsto\;\; \bar z=a-b\cdot\mathrm{i} \qquad (a,b \in \mathbb{R})

im Körper der komplexen Zahlen. Sie ist ein Körperautomorphismus von \Bbb C, also mit der Addition und Multiplikation verträglich:

\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot\bar z.

Die zu z=a+b\cdot\mathrm{i} konjugierte Zahl  \bar z = a-b\cdot\mathrm{i} hat denselben Realteil, aber das entgegengesetzte Vorzeichen im Imaginärteil.

In der Exponentialform ist die Konjugierte der Zahl

 \!\ z = r e^{\mathrm i\varphi} = r(\cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi)

die Zahl

\bar z = r e^{-\mathrm i\varphi} = r(\cos \varphi - \mathrm{i} \sin \varphi).[1]

Sie hat also bei unverändertem Betrag den im Vorzeichen entgegengesetzten Winkel von z. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse identifizieren. Insbesondere werden bei der Konjugation genau die reellen Zahlen wieder auf sich selbst abgebildet.
Eine alternative Schreibweise für \overline{z} ist z^*, welche vor allem in der Physik, genauer in der Quantenmechanik, gebräuchlich ist (mit \psi^*(\vec{x},t) wird die zu \psi(\vec{x},t) konjugierte Wellenfunktion bezeichnet). Allerdings wird diese Schreibweise auch bei adjungierten Matrizen A^*:=\overline{A}^T gebraucht, für die in der Quantenmechanik wiederum die Schreibweise A^\dagger gebräuchlich ist.

Rechenregeln[Bearbeiten]

Für alle komplexen Zahlen z_1,z_2, z=a+b\,\mathrm{i}\in\Bbb C gilt:[2]

  •  a = \mathrm{Re}(z) = \frac12 ( z + \overline z)
  •  b = \mathrm{Im}(z) = \frac{1}{2\mathrm{i}} ( z - \overline z )
  • z \cdot\overline z = |z|^2 = a^2+b^2
  • \overline{z_1 + z_2} = \overline z_1 + \overline z_2
  • \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline z_1 \cdot \overline z_2
  • \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline z_1}{\overline z_2}
  •  |z| = |\overline z|
  • \exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)}
  • \log(\overline{z}) = \overline{\log(z)} für z \neq 0
  •  \overline{\varphi(z)} = \varphi(\overline z) gilt allgemein für jede holomorphe Funktion  \!\ \varphi, deren Einschränkung auf die reelle Achse reellwertig ist.
  •  z+i\overline{z} = (1+i)(\operatorname{Re}z + \operatorname{Im}z)

Anwendung[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Konjugation können die Inverse und auch der Quotient komplexer Zahlen bequem angegeben werden:

  • Zu z\in\Bbb C mit z\neq 0 ist
z^{-1} = \frac1z = \frac1z\frac{\bar z}{\bar z}= \frac{\bar z}{|z|^2}
das multiplikativ Inverse.
  • Für die Division zweier komplexer Zahlen erhalten wir:
{y\over z} ={y\over z} \frac{\bar z}{\bar z}=  \frac{y\bar z}{|z|^2}
oder ausführlicher:
\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}} = \frac{(ac+bd)}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)}{c^2+d^2}\,\mathrm{i}.

Komplexe Konjugation bei Matrizen[Bearbeiten]

Die komplex Konjugierte einer Matrix ist die Matrix, deren Komponenten die komplex konjugierten Komponenten der ursprünglichen Matrix sind. Die Transposition einer zuvor komplex konjugierten Matrix wird hermitesche Transposition genannt. Für Matrizen auf dem Euklidischen Raum gilt weiterhin, dass die hermitesch transponierte Matrix identisch ist mit der adjungierten Matrix.

Da die Operation eine einfache Erweiterung der Konjugation von Matrixelementen auf Matrizen ist, wird die komplex Konjugierte einer Matrix oft ebenfalls mit einem Oberstrich gekennzeichnet. Ein einfaches Rechenbeispiel:

A=\begin{pmatrix}
2 & \mathrm{i} & 3 + \mathrm{i} \\
-\mathrm{i} & 5 + 3\mathrm{i} & 5\mathrm{i} \\
\end{pmatrix} \Leftrightarrow \,
\overline A = \begin{pmatrix}
2 & -\mathrm{i} & 3 - \mathrm{i} \\
\mathrm{i} & 5 - 3\mathrm{i} & -5\mathrm{i} \\
\end{pmatrix}

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

In der abstrakten Algebra wird dieser Begriff folgendermaßen erweitert:

Zwei über K algebraische Elemente einer Körpererweiterung L/K heißen zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über K haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a in L heißen „Konjugierte von a (in L)“. Jeder K-Automorphismus von L (d. h. ein L-Automorphismus, der K punktweise festhält) bildet a auf eine seiner Konjugierten ab.

Analog definiert man Konjugiertheit von Elementen und Idealen bezüglich einer Ringerweiterung.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Seite 36
  2. T. Arens, F. Hettlich, Ch. Karpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger, H. Stachel: Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag, Seite 125 bis 127