Konstruierbares Polygon

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Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks

In der Mathematik ist ein konstruierbares Polygon ein regelmäßiges Polygon, das mit Zirkel und (unmarkiertem) Lineal - den sogen. Euklidischen Werkzeugen - konstruiert werden kann. Zum Beispiel ist das regelmäßige Pentagon konstruierbar, das regelmäßige Heptagon hingegen nicht.

Konstruierbarkeit[Bearbeiten]

Um den Begriff „mit Zirkel und Lineal konstruierbar“ mathematisch präzise zu erfassen, muss definiert werden, was mit diesen Werkzeugen möglich ist. Wir gehen davon aus, dass am Anfang einer jeden Konstruktion zwei Punkte gegeben sind. Mit dem Lineal kann man dann eine Gerade durch zwei Punkte konstruieren, mit dem Zirkel einen Kreis durch einen Punkt um einen anderen Punkt als Mittelpunkt. Außerdem seien die Schnittpunkte von Geraden und Kreisen konstruierbar.

Aus diesen Grundkonstruktionen lassen sich eine Reihe weiterer Konstruktionen ableiten, wie die Konstruktion einer Mittelsenkrechte oder das Fällen eines Lotes. Man nennt dann eine positive reelle Zahl konstruierbar, wenn man zwei Punkte konstruieren kann, sodass der euklidische Abstand zwischen ihnen gleich dem Betrag dieser Zahl ist (wobei der Abstand zweier vorgegebener Punkte als 1 definiert wird). Ist beispielsweise die Zahl a>0 konstruierbar, so kann man mit Hilfe des Höhensatzes zwei Punkte mit Abstand \sqrt{a} konstruieren. Sind zwei Zahlen a und b konstruierbar, so mit Hilfe des Strahlensatzes auch deren Produkt ab und der Kehrwert \frac{1}{a}, sowie durch Abgreifen eines Abstandes deren Summe a+b und Differenz a-b. Ein Winkel \alpha heiße konstruierbar, wenn die Zahl \cos(\alpha) konstruierbar ist; der Sinn dieser Definition erschließt sich schnell durch Betrachten des Einheitskreises.

Um nun ein regelmäßiges n-Eck zu konstruieren, genügt es, den Zentriwinkel \frac{2\pi}{n} zu konstruieren, denn wenn man den Mittelpunkt des n-Ecks und eine Ecke gegeben hat, lässt sich ausgehend von der Verbindungsgeraden durch Mittelpunkt und Eckpunkt der nächste Eckpunkt konstruieren. Ist umgekehrt ein regelmäßiges n-Eck gegeben, so kann man den Zentriwinkel abgreifen. Zur Beantwortung der Frage, ob das n-Eck konstruierbar ist, ist man also auf den Fall zurückgeführt, zu entscheiden, ob der Zentriwinkel konstruierbar ist.

Konstruierbarkeit von Zahlen[Bearbeiten]

Eine Zahl heißt genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn sie die Länge einer Strecke ist, die wie hier beschrieben konstruiert werden kann.

In der synthetischen Geometrie werden auch Punkte und Zahlen untersucht, die etwas allgemeiner aus einer (fast) beliebigen Vorgabemenge von Streckenlängen konstruiert werden können. Dazu werden Körpererweiterungen der rationalen Zahlen betrachtet, die euklidische Körper und damit Koordinatenkörper einer euklidischen Ebene (im Sinne der synthetischen Geometrie) sind. Die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal einer Zahl bedeutet dann, dass sie eine Koordinate eines aus den Vorgaben konstruierbaren Punktes in der Ebene ist. → Siehe zu diesen Begriffsbildungen auch den Artikel euklidischer Körper!

Kriterium für Konstruierbarkeit[Bearbeiten]

Carl Friedrich Gauß zeigte 1796, dass das regelmäßige Siebzehneck konstruierbar ist. Dazu wies er nach, dass die Zahl \cos\frac{2\pi}{17} als Ausdruck dargestellt werden kann, der nur ganze Zahlen, arithmetische Grundoperationen und verschachtelte Quadratwurzeln enthält. Durch die in seinen Disquisitiones Arithmeticae entwickelte Theorie gelang es Gauß fünf Jahre später, eine hinreichende Bedingung für die Konstruktion regelmäßiger Polygone anzugeben:

Wenn n das Produkt einer Potenz von 2 mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist, dann ist das regelmäßige n-Eck konstruierbar.

Gauß wusste zwar, dass die Bedingung auch notwendig ist, hat allerdings seinen Beweis hierfür nicht veröffentlicht. Pierre-Laurent Wantzel holte dies 1837 nach.

Man kann zeigen, dass eine Zahl n\geq 2 genau dann das Produkt einer Potenz von 2 mit verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist, wenn \varphi(n) eine Potenz von 2 ist. Hierbei bezeichnet \varphi die Eulersche φ-Funktion.

Zusammenfassend: Für eine Zahl n\geq 3 sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  • Das regelmäßige n-Eck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
  • n = 2^kp_1\cdots p_m mit k\in\N_0 und m\in\N_0 paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen p_1,\dots,p_m.
Dabei steht das für m=0 sich ergebende leere Produkt definitionsgemäß für die Zahl 1.
  • \varphi(n) = 2^r für ein r\in\N.

Sind insbesondere m und n teilerfremd und sowohl das m-Eck als auch das n-Eck konstruierbar, so ist wegen \varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n) auch das mn-Eck konstruierbar. Für diese Tatsache lässt sich auch direkt die geometrische Konstruktion angeben, denn wenn m und n teilerfremd sind, so gibt es nach dem Lemma von Bézout zwei ganze Zahlen a und b mit 1=am+bn. Indem man nun a-mal den Zentriwinkel des n-Ecks und b-mal den Zentriwinkel des m-Ecks anlegt, hat man den Winkel a\frac{2\pi}{n}+b\frac{2\pi}{m} = \frac{2\pi}{mn} - und damit auch das mn-Eck - konstruiert.

Konkrete Konsequenzen des Kriteriums[Bearbeiten]

Trotz intensiver Suche wurden über die fünf bereits Gauß bekannten Fermatschen Primzahlen 3, 5, 17, 257 und 65537 hinaus bis heute keine weiteren gefunden. Es besteht sogar die plausible Vermutung, dass es keine weiteren Fermatschen Primzahlen gibt.

Hauptartikel: Fermatsche Primzahl

Sollte es tatsächlich nur fünf Fermatsche Primzahlen geben, dann sind unter den Polygonen mit ungerader Eckenzahl genau die folgenden im Prinzip konstruierbar:

Eckenzahl Produkt Fermat­scher Prim­zahlen
3 3
5 5
15 3 * 5
17 17
51 3 * 17
85 5 * 17
255 3 * 5 * 17
257 257
771 3 * 257
1.285 5 * 257
3.855 3 * 5 * 257
Eckenzahl Produkt Fermat­scher Prim­zahlen
4.369 17 * 257
13.107 3 * 17 * 257
21.845 5 * 17 * 257
65.535 3 * 5 * 17 * 257
65.537 65537
196.701 3 * 65537
327.835 5 * 65537
983.055 3 * 5 * 65537
1.114.639 17 * 65537
3.342.387 3 * 17 * 65537
Eckenzahl Produkt Fermat­scher Prim­zahlen
5.570.645 5 * 17 * 65537
16.711.935 3 * 5 * 17 * 65537
16.850.719 257 * 65537
50.529.027 3 * 257 * 65537
84.215.045 5 * 257 * 65537
252.645.135 3 * 5 * 257 * 65537
286.331.153 17 * 257 * 65537
858.993.459 3 * 17 * 257 * 65537
1.431.655.765 5 * 17 * 257 * 65537
4.294.967.295 3 * 5 * 17 * 257 * 65537

Alle anderen konstruierbaren Polygone (dann mit gerader Eckenzahl) ergeben sich daraus durch (fortgesetztes) Verdoppeln der Eckenzahl.

Lässt man zur Konstruktion zusätzlich ein Hilfsmittel zur Dreiteilung eines Winkels (Trisektion) zu, so sind alle regelmäßigen Polygone mit Eckenzahlen der Form n = 2^r3^sp_1 \cdots p_k konstruierbar, wobei p_1, \ldots, p_k mit k \in \N_0 verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei der Form 2^t3^u+1 sind. Auf diese Weise sind beispielsweise auch das Siebeneck, das Neuneck und das Dreizehneck konstruierbar, nicht jedoch das Elfeck.[1]

Daraus ergibt sich für regelmäßige Polygone bis zum 100-Eck folgende Tabelle für die Konstruktion mit Zirkel und Lineal (ja), bzw. zusätzlich Trisektion (Tr):

Eckenzahl 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Konstruierbar Ja Ja Ja Ja Tr. Ja Tr. Ja Nein Ja Tr. Tr. Ja Ja
Eckenzahl 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Konstruierbar Ja Tr. Tr. Ja Tr. Nein Nein Ja Nein Tr. Tr. Tr. Nein Ja
Eckenzahl 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Konstruierbar Nein Ja Nein Ja Tr. Tr. Tr. Tr. Tr. Ja Nein Tr. Nein Nein
Eckenzahl 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
Konstruierbar Tr. Nein Nein Ja Nein Nein Ja Tr. Nein Tr. Nein Tr. Tr. Nein
Eckenzahl 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
Konstruierbar Nein Ja Nein Nein Tr. Ja Tr. Nein Nein Ja Nein Tr. Nein Tr.
Eckenzahl 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86
Konstruierbar Tr. Tr. Nein Tr. Nein Tr. Nein Ja Tr. Nein Nein Tr. Ja Nein
Eckenzahl 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Konstruierbar Nein Nein Nein Tr. Tr. Nein Nein Nein Tr. Ja Tr. Nein Nein Nein

Klassisch konstruierbar sind folgende Polygone (bis 1000):

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960

Nur mit Hilfe mind. einer Dreiteilung (bis 1000):

7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97, 104, 105, 108, 109, 111, 112, 114, 117, 119, 126, 130, 133, 135, 140, 144, 146, 148, 152, 153, 156, 162, 163, 168, 171, 180, 182, 185, 189, 190, 193, 194, 195, 208, 210, 216, 218, 219, 221, 222, 224, 228, 234, 238, 243, 247, 252, 259, 260, 266, 270, 273, 280, 285, 288, 291, 292, 296, 304, 306, 312, 315, 323, 324, 326, 327, 333, 336, 342, 351, 357, 360, 364, 365, 370, 378, 380, 386, 388, 390, 399, 405, 416, 420, 432, 433, 436, 438, 442, 444, 448, 456, 459, 468, 476, 481, 485, 486, 487, 489, 494, 504, 511, 513, 518, 520, 532, 540, 545, 546, 555, 560, 567, 570, 576, 577, 579, 582, 584, 585, 592, 608, 612, 624, 629, 630, 646, 648, 652, 654, 657, 663, 666, 672, 679, 684, 702, 703, 714, 720, 728, 729, 730, 740, 741, 756, 760, 763, 765, 769, 772, 776, 777, 780, 798, 810, 815, 819, 832, 840, 855, 864, 866, 872, 873, 876, 884, 888, 896, 912, 918, 936, 945, 949, 952, 962, 965, 969, 970, 972, 974, 978, 981, 988, 999

Eckenzahlen konstruierbarer Polygone findet man auch in der Folge A003401 in OEIS, Eckenzahlen nicht klassisch konstruierbarer Polygone in der Folge A004169 in OEIS.

Galoistheorie[Bearbeiten]

Durch Entwicklung der Galoistheorie gelangte man zu einer tieferen Einsicht in das Problem. Die Menge der konstruierbaren Zahlen bildet nämlich einen Körper, in dem zusätzlich auch aus positiven Zahlen die Quadratwurzel gezogen werden kann. Insbesondere entspricht das Schneiden von Geraden dem Lösen einer linearen Gleichung und das Schneiden einer Geraden mit einem Kreis oder das Schneiden zweier Kreise dem Lösen einer quadratischen Gleichung. In der Sprache der Körpererweiterungen ist das folgende Tatsache:

Ist a eine konstruierbare Zahl, so gibt es einen Körperturm \mathbb{Q}\subsetneq M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \dots \subsetneq M_m, so dass a\in M_m und M_{i+1}=M_i[\sqrt{\gamma_i}] für ein \gamma_i\in M_i.

Umgekehrt ist natürlich auch jede Zahl aus M_m konstruierbar. Ist also a konstruierbar, so ist a algebraisch und es ist [\mathbb{Q}[a]:\mathbb{Q}]=2^m eine Potenz von 2.


Zur Klärung der Konstruktion von regelmäßigen n-Ecken mit n\geq 3 betrachtet man Kreisteilungskörper \mathbb{Q}[\zeta_n] als Körpererweiterung über \mathbb{Q}, wobei \zeta_n := \exp\frac{2\pi\mathrm{i}}{n} die n-te Einheitswurzel bezeichnet. Die n-ten Einheitswurzeln sind die auf dem Einheitskreis liegenden Ecken eines regelmäßigen n-Ecks. Es genügt die reelle Zahl \alpha_n := \zeta_n + \zeta_n^{-1}\in\R zu konstruieren.

Sind zum Beispiel m und n teilerfremd, so ist \mathbb{Q}[\zeta_{mn}]=\mathbb{Q}[\zeta_m,\zeta_n]. Sind dann das m- und das n-Eck konstruierbar, so ist auch das mn-Eck konstruierbar.

Um nun obige Argumente anwenden zu können, müssen einige Körpererweiterungsgrade bestimmt werden. Da die Kreisteilungspolynome irreduzibel sind, ist [\mathbb{Q}[\zeta_n]:\mathbb{Q}] = \varphi(n). Wegen \zeta_n\not\in\R ist [\mathbb{Q}[\zeta_n]:\mathbb{Q}[\alpha_n]]>1, also ist \operatorname{MinPol}_{\mathbb{Q}[\alpha_n]}(\zeta_n) = X^2-\alpha_nX+1, und damit [\mathbb{Q}[\zeta_n]:\mathbb{Q}[\alpha_n]]=2.


Im regelmäßigen n-Eck beträgt der Zentriwinkel \beta := \frac{2\pi}{n}. Ist somit das regelmäßige n-Eck konstruierbar, so auch eine Strecke der Länge |\cos\beta| = \cos\frac{2\pi}{n}. Wegen \alpha_n = 2\cos\frac{2\pi}{n} ist dann auch diese Zahl konstruierbar, also muss [\mathbb{Q}[\alpha_n] : \mathbb{Q}] = 2^m eine Potenz von 2 sein. Damit ist dann \varphi(n) = [\mathbb{Q}[\zeta_n]:\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}[\zeta_n]:\mathbb{Q}[\alpha_n]]\cdot[\mathbb{Q}[\alpha_n]:\mathbb{Q}] = 2^{m+1}.


Ist umgekehrt \varphi(n)=2^m, so ist \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\zeta_n]:\mathbb{Q})\cong\left(\Z/n\Z\right)^\times eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung 2^m. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen existiert dann eine Kette \left(\Z/n\Z\right)^\times=H_0\triangleright H_1\triangleright\dots\triangleright H_m=\{1\} von sukzessiven Normalteilern H_i mit |H_i| = 2^{m-i}. Mit dem Hauptsatz der Galoistheorie erhält man daraus dann als Fixkörper von \mathbb{Q}[\zeta_n] einen Körperturm \mathbb{Q}=M_0\subseteq M_1\subseteq\dots\subseteq M_m=\mathbb{Q}[\zeta_n] mit [M_{i+1}:M_i]=|H_i/H_{i+1}|=2, mithin ist M_{i+1}=M_i[\sqrt{\gamma_i}] für \gamma_i\in M_i, und somit ist \zeta_n und damit auch das regelmäßige n-Eck konstruierbar.


Sei beispielsweise n=5. Dann ist \varphi(n)=2^2 eine Potenz von 2 und \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\zeta_5]:\mathbb{Q})\cong\left(\Z/5\Z\right)^\times = \langle2\rangle, da 2 eine Primitivwurzel modulo 5 ist. Eine mögliche Kette von Normalteilern ist H_0:=\langle2\rangle \triangleright H_1:=\langle4\rangle \triangleright H_2:=\langle1\rangle. Der dazugehörige Körperturm ist M_0:=\mathbb{Q} \subseteq M_1:=\mathbb{Q}[\zeta_5+\zeta_5^{-1}] \subseteq M_2:=\mathbb{Q}[\zeta_5]. Es ist \operatorname{MinPol}_{\mathbb{Q}}(\alpha_5) = X^2+X-1, da es normiert ist und \alpha_5 annulliert und mit Reduktion modulo 2 irreduzibel ist. Nach Lösen der Gleichung x^2+x-1=0 ergibt sich \alpha_5=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}. Nun könnte man bereits die erste Ecke konstruieren, indem man den Punkt mit Abstand \alpha_5 vom Mittelpunkt auf einer Achse aus konstruiert und dann das Lot durch diesen Punkt fällt. Durch Lösen von x^2-\alpha_5x+1=0 ergibt sich \zeta_5=-\frac{1}{4}\left(-1+\sqrt{5}+\mathrm{i}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right). Durch diesen algebraischen Ausdruck lässt sich alternativ die erste Ecke konstruieren, indem man eine reelle und eine imaginäre Achse einzeichnet und mit deren Hilfe den Punkt \zeta_5 konstruiert.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. 95, Nr. 3, 1988, S. 185–194 (PDF).

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]