Kontaktmechanik

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Spannungen in einem Kontaktgebiet unter gleichzeitiger Belastung durch eine Normalkraft und eine Tangentialkraft. Die Spannungen wurden mittels Spannungsoptik sichtbar gemacht.

Die Kontaktmechanik beschäftigt sich mit der Berechnung von elastischen, viskoelastischen oder plastischen Körpern im statischen oder dynamischen Kontakt.

Kontaktmechanik ist eine grundlegende ingenieurwissenschaftliche Disziplin, die für einen sicheren und energiesparenden Entwurf technischer Anlagen unabdingbar ist. Sie ist zum Beispiel wichtig bei Rad-Schiene-Systemen, Kupplungen, Bremsen, Reifen, Gleit- und Wälzlager, Verbrennungsmotoren, Gelenke, Dichtungen, Umformung, Materialbearbeitung, Ultraschallschweißen, elektrische Kontakte und viele andere. Ihre Aufgaben reichen vom Festigkeitsnachweis von Kontakt- und Verbindungselementen über die Beeinflussung von Reibung und Verschleiß durch Schmierung oder Materialdesign bis hin zu Anwendungen in der Mikro- und Nanosystemtechnik.

Geschichte[Bearbeiten]

Die klassische Kontaktmechanik ist vor allem mit Heinrich Hertz verbunden. Im Jahr 1882 löste Hertz das Problem des Kontaktes zwischen zwei elastischen Körpern mit gekrümmten Oberflächen (siehe dazu den Artikel Hertzsche Pressung). Dieses klassische Ergebnis bildet auch heute eine Grundlage der Kontaktmechanik. Weitere frühe analytische Arbeiten zu diesem Thema gehen auf Joseph Boussinesq sowie V. Cerruti zurück.

Erst ein knappes Jahrhundert später fanden Kenneth L. Johnson, Kevin Kendall und Alan D. Roberts eine ähnliche Lösung wie die von Hertz für einen adhäsiven Kontakt (JKR-Theorie).[1]

Ein weiterer Fortschritt unserer Kenntnisse über Kontaktmechanik liegt in der Mitte des 20. Jahrhunderts und ist mit den Namen Bowden und Tabor verbunden. Sie haben als Erste auf die Wichtigkeit der Rauheit der kontaktierenden Körper hingewiesen. Durch die Rauheit ist die wahre Kontaktfläche zwischen Reibpartnern typischerweise um Größenordnungen kleiner als die scheinbare Fläche. Diese Einsicht veränderte schlagartig die Richtung auch vieler tribologischer Untersuchungen. Die Arbeiten von Bowden und Tabor haben eine Reihe von Theorien zur Kontaktmechanik von rauen Oberflächen angestoßen.

Als Pionierarbeiten auf diesem Gebiet sollen vor allem die Arbeiten von John F. Archard (1957) erwähnt werden, der zu dem Schluss gekommen ist, dass auch im Kontakt von elastischen, rauen Oberflächen die Kontaktfläche ungefähr proportional zur Normalkraft ist. Weitere wichtige Beiträge sind mit den Namen J. A. Greenwood und J. B. P. Williamson (1966), Bush (1975) und Bo N. J. Persson (2002) verbunden. Das Hauptergebnis dieser Arbeiten ist, dass die wahre Kontaktfläche bei rauen Oberflächen im Groben proportional zur Normalkraft ist, während die Bedingungen in einzelnen Mikrokontakten (Druck, Größe des Mikrokontaktes) nur schwach von der Belastung abhängen.

Heute werden viele Aufgaben der Kontaktmechanik mit Simulationsprogrammen bearbeitet, die auf der Methode der Finiten Elemente oder der Randelementmethode basieren. Hierzu gibt es eine große Anzahl von wissenschaftlichen Beiträgen, einige sind neben den Grundlagen der numerischen Kontaktmechanik in den Büchern von Laursen (2002) und Wriggers (2006) zu finden.

Klassische Kontaktaufgaben[Bearbeiten]

Kontakt zwischen einer Kugel und einem elastischen Halbraum[Bearbeiten]

Kontakt zwischen einer Kugel und einem elastischen Halbraum

Ist eine elastische Kugel mit dem Radius R in einen elastischen Halbraum um den Betrag d eingedrückt (Eindrucktiefe), so bildet sich ein Kontaktgebiet mit dem Radius a=\sqrt{Rd}. Die dafür erforderliche Kraft ist gleich

F=\frac{4}{3}E^*R^{1/2}d^{3/2},

wobei

\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu^2_1}{E_1}+\frac{1-\nu^2_2}{E_2}.

E_1 und E_2 sind hier die Elastizitätsmoduln sowie \nu_1 und \nu_2 die Poisson-Zahlen beider Körper.

Kontakt zwischen zwei elastischen Kugeln[Bearbeiten]

Kontakt zwischen zwei Kugeln

Sind zwei Kugeln mit den Radien R_1 und R_2 im Kontakt, so gelten diese Gleichungen weiterhin mit dem Radius R gemäß

\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}

Die Druckverteilung im Kontaktgebiet ist gegeben durch

p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}

mit

p_0=\frac{2}{\pi}E^*\left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}.

Die maximale Schubspannung liegt im Inneren, für \nu = 0{,}33 bei z\approx 0{,}49a.

Kontakt zwischen zwei gekreuzten Zylindern mit gleichen Radien R[Bearbeiten]

Kontakt zwischen zwei gekreuzten Zylindern mit gleichen Radien

ist äquivalent zum Kontakt zwischen einer Kugel mit dem Radius R und einer Ebene (s. oben).

Kontakt zwischen einem starren Zylinder und einem elastischen Halbraum[Bearbeiten]

Kontakt zwischen einem starren zylindrischen Indenter und einem elastischen Halbraum

Wird ein starrer zylindrischer Stempel mit dem Radius a in einen elastischen Halbraum eingedrückt, so ist die Druckverteilung durch

p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{-1/2}

gegeben mit

p_0=\frac{1}{\pi}E^*\frac{d}{a}.

Der Zusammenhang zwischen der Eindrucktiefe und der Normalkraft lautet

F=2aE^*d\frac{}{}.

Kontakt zwischen einem starren kegelförmigen Indenter und dem elastischen Halbraum[Bearbeiten]

Kontakt zwischen einem Kegel und einem elastischen Halbraum

Bei Indentierung eines elastischen Halbraumes durch einen starren kegelförmigen Indenter sind die Eindrucktiefe und der Kontaktradius durch die Beziehung

d=\frac{\pi}{2}a\tan\theta

gegeben. \theta ist der Winkel zwischen der Ebene und der Seitenfläche des Kegels. Die Druckverteilung hat die Form

p(r)=-\frac{Ed}{\pi a\left(1-\nu^2\right)}\ln\left(\frac{a}{r}+\sqrt{\left(\frac{a}{r}\right)^2-1}\right).

Die Spannung hat an der Spitze des Kegels (im Zentrum des Kontaktgebietes) eine logarithmische Singularität. Die Gesamtkraft berechnet sich zu

F=\frac{2 }{\tan{\theta}\cdot\pi} E d^2.

Kontakt zwischen zwei Zylindern mit parallelen Achsen[Bearbeiten]

Kontakt zwischen zwei Zylindern mit parallelen Achsen

Im Falle eines Kontaktes zwischen zwei Zylindern mit parallelen Achsen ist die Kraft linear proportional zur Eindrucktiefe:

F=\frac{\pi}{4}E^*Ld.

Der Krümmungsradius erscheint in dieser Beziehung überhaupt nicht. Die halbe Kontaktbreite wird durch dieselbe Beziehung

a=\sqrt{Rd},

mit

\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}

gegeben, wie im Kontakt zwischen zwei Kugeln. Der maximale Druck ist gleich

p_0=\left(\frac{E^*F}{\pi LR}\right)^{1/2}.

Kontakt zwischen rauen Oberflächen[Bearbeiten]

Wenn zwei Körper mit rauen Oberflächen aneinander gedrückt werden, so ist die reale Kontaktfläche A zunächst viel kleiner als die scheinbare Fläche A_0. Bei einem Kontakt zwischen einer „zufällig rauen“ Oberfläche und einem elastischen Halbraum ist die reale Kontaktfläche proportional zur Normalkraft F und ist durch die Gleichung

A=\frac{\kappa}{E^*h'}F

gegeben, wobei h' der quadratische Mittelwert der Steigung der Oberfläche ist und \kappa \approx2. Der mittlere Druck in der wahren Kontaktfläche

\sigma =\frac{F}{A}\approx\frac{1}{2}E^*h'

berechnet sich in guter Näherung als die Hälfte des effektiven elastischen Moduls E^* multipliziert mit dem quadratischen Mittelwert der Steigung h' des Oberflächenprofils. Ist dieser Druck größer als die Härte \sigma _0 des Materials und somit

\Psi = \frac{E^*h'}{\sigma _0}>2,

sind die Mikrorauigkeiten vollständig im plastischen Zustand. Für \Psi <\frac{2}{3} verhält sich die Oberfläche beim Kontakt elastisch. Die Größe \Psi wurde von Greenwood und Williamson eingeführt und wird Plastizitätsindex genannt. Die Tatsache, ob sich das System elastisch oder plastisch verhält, hängt nicht von der angelegten Normalkraft ab.

Methode der Dimensionsreduktion[Bearbeiten]

Kontakt zwischen einer Kugel und einem elastischen Halbraum und das eindimensionale Ersatzmodell

Einige Kontaktprobleme lassen sich mit der Methode der Dimensionsreduktion lösen. In dieser Methode wird das ursprüngliche drei-dimensionale System durch einen Kontakt mit einer elastischen oder viskoelastischen Winklerschen Bettung ersetzt (s. Bild). Die makroskopischen Kontakteigenschaften stimmen dabei exakt mit denen des Originalsystems überein, vorausgesetzt, dass die Parameter der Winklerschen Bettung und die Form der Körper nach den Regeln der Methode gewählt werden.[2] Die Methode der Dimensionsreduktion liefert analytisch exakte Ergebnisse für achsensymmetrische Systeme, deren Kontaktfläche kompakt ist. Die Anwendbarkeit auf reale, zufällig raue Oberflächen, wie zum Beispiel bearbeitete Metall- oder Straßenoberflächen, ist umstritten. [3] [4][5]

Literatur[Bearbeiten]

  • Kenneth L. Johnson: Contact mechanics. Cambridge, 1985, ISBN 978-0521255769.
  • Valentin L. Popov: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-88836-9.
  • Ian Sneddon: The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile. Int. J. Eng. Sci. 3, 1965, S. 47–57, doi:10.1016/0020-7225(65)90019-4.
  • Sangil Hyuna, Mark O. Robbins: Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths. Tribology International 40, 2007, S. 1413–1422, doi:10.1016/j.triboint.2007.02.003.
  • Tod A. Laursen: Computational Contact and Impact Mechanics: Fundamentals of Modeling Interfacial Phenomena in Nonlinear Finite Element Analysis. Springer, 2003, ISBN 978-3-540-42906-7.
  • Peter Wriggers: Computational Contact Mechanics. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-32608-3.
  • Valentin L. Popov: Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales. Friction 1, 2013, S. 1–22, doi:10.1007/s40544-013-0005-3.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Johnson, Kendall, Roberts: Surface energy and the contact of elastic solids. Proc. Roy. Soc. A 324, 1971, S. 301–313, doi:10.1098/rspa.1971.0141.
  2. Valentin L. Popov, Markus Heß: Methode der Dimensionsreduktion in Kontaktmechanik und Reibung. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-32673-8.
  3. Bo N.J. Persson: Contact Mechanics for Randomly Rough Surfaces: On the Validity of the Method of Reduction of Dimensionality. Tribology Letters 58, 2015, doi:10.1007/s11249-015-0498-1.
  4. Iakov A. Lyashenko, Lars Pastewka, Bo N.J. Persson: On the validity of the method of reduction of dimensionality: area of contact, average interfacial separation and contact stiffness. Tribology Letters 52, 2013, doi:10.1007/s11249-013-0208-9 (arXiv:1303.0965).
  5. Li et al.: Reply. Phys Rev Lett 111, 189402, 2013.

Weblinks[Bearbeiten]